Referências: Cauda do cdf inverso

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Tenho quase certeza de que já vi o seguinte resultado nas estatísticas, mas não me lembro onde.

Se for uma variável aleatória positiva e então quando , onde é o CDF de .XE(X)<εF1(1ε)0ε0+FX

É fácil ver geometricamente usando a igualdade e considerando um corte horizontal em da área sob a curva do integrando .E(X)=1Fε1F

Você conhece uma referência para esse resultado e se ele tem um nome?

Stéphane Laurent
fonte
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O "mais geralmente" é uma aplicação direta de integração por partes. Isso dificilmente precisa de uma referência!
whuber
@ whuber Também estou pedindo uma referência sobre o primeiro resultado.
Stéphane Laurent
2
Você pode ter visto, ou pelo menos algo parecido, em stats.stackexchange.com/questions/18438 . Esse resultado é devido a uma substituição na integral, que novamente é tão básica que não se esperaria que fosse especialmente notado na literatura ou dado algum nome especial.
whuber
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@whuber Não vejo no seu link. Além disso, o resultado que mencionei também é verdadeiro para um discreto (considerando como uma sequência e substituindo por na declaração mais geral). O primeiro resultado é verdadeiro para um geral , eu acho. ϵF1(1ϵ)0FgF
Stéphane Laurent
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Eu acredito que isso poderia ser usado sem qualquer referência, desde que seja declarado em termos mais clássicos. Grosso modo, é: para com , uma conseqüência direta de: e de convergência dominada. Um pouco de trabalho é necessário para obter a instrução para inverso inverso à esquerda) no caso geral em que pode ter etapas. xF¯(x)0xF¯:=1FxPr{X>x}E[X1{X>x}]F1F
Yves

Respostas:

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Para lidar com o "pouco trabalho" sugerido por Yves nos comentários, a geometria sugere uma prova rigorosa e totalmente geral.

Se desejar, você pode substituir todas as referências a áreas por integrais e referências a "arbitrário" pelos argumentos usuais epsilon-delta. A tradução é fácil.

Para configurar a imagem, seja a função de sobrevivênciaG

G(x)=1F(x)=Pr(X>x).

Figura

A figura traça uma parte do . (Observe o salto no gráfico: essa distribuição específica não é contínua.) Um grande limiar é mostrado e uma pequena probabilidade foi selecionada (para que ).GTϵG(T)G1(ϵ)T

Estamos prontos para começar: o valor em que estamos interessados, (o que queremos mostrar converge para zero), é a área do retângulo branco com altura e base de a . Vamos relacionar essa área com a expectativa de , porque a única suposição disponível para nós é que essa expectativa existe e é finita.ϵF1(1ϵ)=ϵG1(ϵ)ϵx=0x=G1(ϵ)F

A parte positiva da expectativa é a área sob a curva de sobrevivência (de a ):E+EF(X)0

EF(X)=E+E=0G(x)dx0F(x)dx.

Como deve ser finito (caso contrário, a expectativa em si não existiria e seria finita), podemos escolher tão grande que a área sob entre e responsável por todos, ou quase todos, por .E+TG0TE+

Todas as peças estão agora no lugar: o gráfico de , o limiar , a pequena altura e o ponto final à direita sugerem uma dissecção de nas áreas em que pode analisar:GTϵG1(ϵ)E+

  • Como vai a zero a partir de cima, a área do retângulo branco com base diminui para zero, porque permanece constante. ( É por isso que foi introduzido; é a ideia principal desta demonstração. )ϵ0x<TTT

  • A área azul pode ser feita tão perto de quanto você desejar, começando com um adequadamente grande e depois escolhendo pequeno . E+Tϵ

  • Consequentemente, a área que sobra - que claramente não é maior que o retângulo branco com base de a - pode ser arbitrariamente pequena. (Em outras palavras, apenas ignore as áreas vermelha e dourada.)x=Tx=G1(ϵ)

Assim, quebramos em duas partes cujas áreas convergem para zero. ϵG1(ϵ) Assim, , QED.ϵG1(ϵ)0

whuber
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