Tenho quase certeza de que já vi o seguinte resultado nas estatísticas, mas não me lembro onde.
Se for uma variável aleatória positiva e então quando , onde é o CDF de .
É fácil ver geometricamente usando a igualdade e considerando um corte horizontal em da área sob a curva do integrando .
Você conhece uma referência para esse resultado e se ele tem um nome?
references
quantiles
cdf
moments
Stéphane Laurent
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Respostas:
Para lidar com o "pouco trabalho" sugerido por Yves nos comentários, a geometria sugere uma prova rigorosa e totalmente geral.
Se desejar, você pode substituir todas as referências a áreas por integrais e referências a "arbitrário" pelos argumentos usuais epsilon-delta. A tradução é fácil.
Para configurar a imagem, seja a função de sobrevivênciaG
A figura traça uma parte do . (Observe o salto no gráfico: essa distribuição específica não é contínua.) Um grande limiar é mostrado e uma pequena probabilidade foi selecionada (para que ).G T ϵ≤G(T) G−1(ϵ)≥T
Estamos prontos para começar: o valor em que estamos interessados, (o que queremos mostrar converge para zero), é a área do retângulo branco com altura e base de a . Vamos relacionar essa área com a expectativa de , porque a única suposição disponível para nós é que essa expectativa existe e é finita.ϵF−1(1−ϵ)=ϵG−1(ϵ) ϵ x=0 x=G−1(ϵ) F
A parte positiva da expectativa é a área sob a curva de sobrevivência (de a ):E+ EF(X) 0 ∞
Como deve ser finito (caso contrário, a expectativa em si não existiria e seria finita), podemos escolher tão grande que a área sob entre e responsável por todos, ou quase todos, por .E+ T G 0 T E+
Todas as peças estão agora no lugar: o gráfico de , o limiar , a pequena altura e o ponto final à direita sugerem uma dissecção de nas áreas em que pode analisar:G T ϵ G−1(ϵ) E+
Como vai a zero a partir de cima, a área do retângulo branco com base diminui para zero, porque permanece constante. ( É por isso que foi introduzido; é a ideia principal desta demonstração. )ϵ 0≤x<T T T
A área azul pode ser feita tão perto de quanto você desejar, começando com um adequadamente grande e depois escolhendo pequeno .E+ T ϵ
Consequentemente, a área que sobra - que claramente não é maior que o retângulo branco com base de a - pode ser arbitrariamente pequena. (Em outras palavras, apenas ignore as áreas vermelha e dourada.)x=T x=G−1(ϵ)
Assim, quebramos em duas partes cujas áreas convergem para zero.ϵG−1(ϵ) Assim, , QED.ϵG−1(ϵ)→0
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