Visualizando PCA em R: pontos de dados, vetores próprios, projeções, elipse de confiança

Eu tenho um conjunto de dados de 17 pessoas, classificando 77 declarações. Eu quero extrair componentes principais em uma matriz de correlação transposta de correlações entre pessoas (como variáveis) entre instruções (como casos). Eu sei, é estranho, chama-se Q Methodology .

Quero ilustrar como o PCA funciona nesse contexto, extraindo e visualizando autovalores / vetores para apenas um par de dados. (Como poucas pessoas na minha disciplina recebem PCA, muito menos sua aplicação ao Q, inclusive eu).

Quero a visualização deste fantástico tutorial , apenas para meus dados reais .

Que este seja um subconjunto dos meus dados:

Person1 <- c(-3,1,1,-3,0,-1,-1,0,-1,-1,3,4,5,-2,1,2,-2,-1,1,-2,1,-3,4,-6,1,-3,-4,3,3,-5,0,3,0,-3,1,-2,-1,0,-3,3,-4,-4,-7,-5,-2,-2,-1,1,1,2,0,0,2,-2,4,2,1,2,2,7,0,3,2,5,2,6,0,4,0,-2,-1,2,0,-1,-2,-4,-1)
Person2 <- c(-4,-3,4,-5,-1,-1,-2,2,1,0,3,2,3,-4,2,-1,2,-1,4,-2,6,-2,-1,-2,-1,-1,-3,5,2,-1,3,3,1,-3,1,3,-3,2,-2,4,-4,-6,-4,-7,0,-3,1,-2,0,2,-5,2,-2,-1,4,1,1,0,1,5,1,0,1,1,0,2,0,7,-2,3,-1,-2,-3,0,0,0,0)
df <- data.frame(cbind(Person1, Person2))
g <- ggplot(data = df, mapping = aes(x = Person1, y = Person2))
g <- g + geom_point(alpha = 1/3)  # alpha b/c of overplotting
g <- g + geom_smooth(method = "lm")  # just for comparison
g <- g + coord_fixed()  # otherwise, the angles of vectors are off
g

Observe que, por medição, esses dados:

• ... tem uma média de zero,
• ... é perfeitamente simétrico,
• ... e é igualmente escalado em ambas as variáveis ​​(não deve haver diferença entre matriz de correlação e covariância)

Agora, quero combinar os dois gráficos acima .

corre <- cor(x = df$Person1, y = df$Person2, method = "spearman")  # calculate correlation, must be spearman b/c of measurement
matrix <- matrix(c(1, corre, corre, 1), nrow = 2)  # make this into a matrix
eigen <- eigen(matrix)  # calculate eigenvectors and values
eigen

dá

> $values
> [1] 1.6 0.4
>
> $vectors
>     [,1]  [,2]
> [1,] 0.71 -0.71
> [2,] 0.71  0.71
>
> $vectors.scaled
>     [,1]  [,2]
> [1,]  0.9 -0.45
> [2,]  0.9  0.45

e, seguindo em frente

g <- g + stat_ellipse(type = "norm")
  # add ellipse, though I am not sure which is the adequate type
  # as per https://github.com/hadley/ggplot2/blob/master/R/stat-ellipse.R
eigen$slopes[1] <- eigen$vectors[1,1]/eigen$vectors[2,1]  # calc slopes as ratios
eigen$slopes[2] <- eigen$vectors[1,1]/eigen$vectors[1,2]  # calc slopes as ratios
g <- g + geom_abline(intercept = 0, slope = eigen$slopes[1], colour = "green")  # plot pc1
g <- g + geom_abline(intercept = 0, slope = eigen$slopes[2], colour = "red")  # plot pc2
g <- g + geom_segment(x = 0, y = 0, xend = eigen$values[1], yend = eigen$slopes[1] * eigen$values[1], colour = "green", arrow = arrow(length = unit(0.2, "cm")))  # add arrow for pc1
g <- g + geom_segment(x = 0, y = 0, xend = eigen$values[2], yend = eigen$slopes[2] * eigen$values[2], colour = "red", arrow = arrow(length = unit(0.2, "cm")))  # add arrow for pc2
# Here come the perpendiculars, from StackExchange answer /programming/30398908/how-to-drop-a-perpendicular-line-from-each-point-in-a-scatterplot-to-an-eigenv ===
perp.segment.coord <- function(x0, y0, a=0,b=1){
#finds endpoint for a perpendicular segment from the point (x0,y0) to the line
# defined by lm.mod as y=a+b*x
  x1 <- (x0+b*y0-a*b)/(1+b^2)
  y1 <- a + b*x1
  list(x0=x0, y0=y0, x1=x1, y1=y1)
}
ss <- perp.segment.coord(df$Person1, df$Person2, 0, eigen$slopes[1])
g <- g + geom_segment(data=as.data.frame(ss), aes(x = x0, y = y0, xend = x1, yend = y1), colour = "green", linetype = "dotted")
g

Esse gráfico ilustra adequadamente a extração do vetor próprio / valor próprio no PCA?

• Não tenho certeza do que seriam elipses e / ou comprimento adequados dos vetores (ou isso não importa?)
• Estou supondo que os vetores tenham uma inclinação de 1, -1seja por causa dos meus dados (classificação? Simetria?) E difeririam para outros dados.

Ps .: baseia-se no tutorial acima e nesta pergunta CrossValidated .

Pps .: as perpendiculares soltas no vetor são cortesia desta resposta do StackExchange

Não há muito o que responder aqui. Parece que você já teve alguns problemas com seu script que foram corrigidos. Atualmente, não há nada de errado com sua visualização e, na verdade, acho uma ilustração muito agradável e adequada.

Para responder às suas perguntas restantes:

1. $1$$-1$

2. A elipse que você plotou (de acordo com meu entendimento do código fonte stat_ellipse()) é uma elipse de cobertura de 95%, assumindo distribuição normal multivariada. Esta é uma escolha razoável. Observe que, se você quiser uma cobertura diferente, poderá alterá-la através do levelparâmetro de entrada, mas 95% é bastante padrão e correto.