Distribuição de uma proporção de uniformes: o que está errado?

Suponha que $X$ e $Y$ são duas variáveis ​​aleatórias uniformes de iid no intervalo $[0,1]$

Deixei $Z=X/Y$, Estou encontrando o cdf de $Z$, ie $\Pr(Z\leq z)$.

Agora, eu vim com duas maneiras de fazer isso. Um produz uma resposta correta consistente com o pdf aqui: http://mathworld.wolfram.com/UniformRatioDistribution.html , o outro não. Por que o segundo método está errado?

Primeiro método

$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \Pr(Z\leq z) = \Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X\leq zY) = \int^{1}_{0}\int^{\min(1,zy)}_{0} \rd x \rd y = \int^{1}_{0}\min(1,zy)\ \rd y$ $= \left\{ \begin{array}{lr} \int^{1/z}_{0}zy\ \rd y + \int^{1}_{1/z} \rd y& : z > 1\\ \int^{1}_{0}zy\ \rd y & : z \leq 1 \end{array} \right.$ $= \left\{ \begin{array}{lr} 1 - \frac{1}{2z} & : z > 1\\ \frac{z}{2} & : z \leq 1 \end{array} \right.$

Isso parece correto.

Segundo método

$\Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(zY \geq 1) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(zY < 1)$ pela probabilidade total

$= \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(Y \geq 1/z) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(Y < 1/z)$

Tomando obtém-se $z>1$$(1)(1-\frac{1}{z}) + (\int^{1/z}_{0}\int^{zy}_{0} \rd x \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + (\int^{1/z}_{0}zy\ \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + \frac{1}{2z^{2}}$

Isso já é diferente. Por que isso está errado?

Obrigado!

Aqui está uma dica .

Considere cuidadosamente o termo . Em particular, para concretude, escolha , de modo que estamos considerando o evento .$\mathbb P( X \leq z Y \mid z Y < 1 )$$z = 2$$\mathbb P( X \leq 2 Y \mid Y < 1/2 )$

Agora, observe esta imagem (que está intimamente relacionada à probabilidade acima).

Agora, essa probabilidade condicional depende de nossa escolha particular de ?$z$