Regressão sem interceptar: decorrentes

Em Introdução à aprendizagem estatística (James et al.), Na seção 3.7, exercício 5, afirma que a fórmula para assumindo regressão linear sem interceptação é que e são as estimativas usuais no OLS para regressão linear simples ( ). β 1= n Σ i = 1 x i y $\hat{\beta}_1$p0=ˉy-β1ˉxβ1=Sx

$$\hat{\beta}_1 = \dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i}{\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2}\text{,}$$ $\hat{\beta}_0 = \bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$ Sxy= n ∑ i=1(xi- ˉ x )(yi- ˉ y$\hat{\beta}_1 = \dfrac{\displaystyle S_{xy}}{S_{xx}}$$S_{xy} = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$

Este não é o exercício real ; Estou apenas querendo saber como derivar a equação. Sem usar álgebra matricial , como derivá-lo?

Minha tentativa: com , temos . β 1= ˉ $\hat{\beta}_0 = 0$$\hat{\beta}_1 = \dfrac{\bar{y}}{\bar{x}} = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$

Após alguma álgebra, pode-se mostrar que e . A partir daqui, eu estou preso. S x x = n ∑ i = 1 x 2 i - n ˉ x$\displaystyle S_{xy} = \sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}\bar{y}$$\displaystyle S_{xx} = \sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2$

Isso é direto na definição de Mínimos Quadrados Ordinários. Se não houver interceptação, alguém está minimizando . Como é suave como uma função de , todos os mínimos (ou máximos) ocorrem quando a derivada é zero. Diferenciando em relação a , obtemos . Resolver para fornece a fórmula. β β - ∑ i = n i = 1 2 ( y i - β x i ) x i$R(\beta) = \sum_{i=1}^{i=n} (y_i- \beta x_i)^2$$\beta$$\beta$$-\sum_{i=1}^{i=n} 2(y_i- \beta x_i)x_i$$\beta$