Por que o sistema de classificação Elo usa a regra de atualização errada?

O sistema de classificação Elo usa um algoritmo de minimização de descida de gradiente da função de perda de entropia cruzada entre a probabilidade esperada e observada de um resultado em comparações pareadas. Podemos escrever as funções gerais de perda como

$$E=-\sum_{n,i} p_i Log (q_i)$$

onde a soma é realizada sobre todos os resultados todos os oponentes . é a frequência observada do evento e a frequência esperada.$i$$n$$p_i$$_i$$q_i$

No caso de apenas dois resultados possíveis (ganhar ou perder) e um oponente, temos

$$E=-p Log (q)-(1-p)Log(1-q)$$

Se é o ranking do jogador e é o ranking do jogador podemos construída a probabilidade esperada como seguida, a regra de atualização de descida do gradiente informa o uso$\pi_i$$i$$\pi_j$$j$

$$q_i=\frac{e^{\pi_i}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}}$$ $$q_j=\frac{e^{\pi_j}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}}$$

$$\pi_i'=\pi_i-\eta (q_i-p_i)$$

$$\pi_j'=\pi_j-\eta (q_j-p_j)$$

onde e são a probabilidade esperada e observada de vitória do jogador contra o jogador . Estas são as regras de atualização.$q_i$$p_i$$i$$j$two outcomes

Na presença de empates, podemos generalizar o modelo acima, incluindo e terceiro resultado com probabilidade

$$q(d)=\frac{\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}+\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}$$ $$q_i(w)=\frac{ e^{\pi_i}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}+\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}$$ $$q_j(w)=\frac{ e^{\pi_j}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}+\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}$$

E podemos construir a função Perda como

$$E=-p(w)Log(q(w))-(1-p(w)-p(d))Log(q(l))-p(d)Log(q(d))$$

onde são, respectivamente, a probabilidade observado de , e e a probabilidade esperada de , e . Neste último caso, a regra de atualização seria$p(w),p(l),p(d)$winloosedraw$q(w),q(l),q(d)$winloosedraw

$$\pi_i'=\pi_i-\eta (q_i(w)+\frac{q_i(d)}{2}-p_i(w)-\frac{p_i(d)}{2})$$

$$\pi_j'=\pi_j-\eta (q_j(w)+\frac{q_j(d)}{2}-p_j(w)-\frac{p_j(d)}{2})$$

onde e são a probabilidade esperada de o jogador vencer e empatar contra o jogador . E onde e são a probabilidade observada de o jogador vencer e empatar contra o jogador . Esta é a regra de atualização.$q_j(w)$$q_j(d)$$i$$j$$p_i(w)$$p_i(d)$$i$$j$three outcome

A questão é: por que o sistema de classificação Elo usa as two outcomesregras de atualização mesmo na presença de empates?

A probabilidade de desenhar, ao contrário de ter um resultado decisivo, não é especificada no sistema Elo. Em vez disso, um empate é considerado - tanto no desempenho esperado quanto no resultado da partida - meia vitória e meia derrota.

Um exemplo da página Elo na Wikipedia : "A pontuação esperada de um jogador é sua probabilidade de ganhar mais a metade de sua probabilidade de empate. Portanto, uma pontuação esperada de 0,75 pode representar 75% de chance de ganhar, 25% de chance de perder e 0% de chance Por outro lado, poderia representar 50% de chance de ganhar, 0% de chance de perder e 50% de chance de empatar. "

A probabilidade de desenhar, como eu disse, não é especificada e leva a uma two outcomeregra de atualização simples , , na qual ; portanto, após uma única partida, (vitória) ou (empate, como meia vitória) ou (derrota).$R_A^\prime = R_A + K(S_A - E_A)$$S_A=1 \cdot (n_w + 0.5 \cdot n_d ) + 0 \cdot (0.5 \cdot n_d + n_l)$$S_A=1$$S_A=0.5$$S_A=0$

Como o Elo, o sistema Glicko não modela os empates, mas faz uma atualização como a média de uma vitória e uma perda (por jogador). Em vez disso, no sistema de classificação TrueSkill , "os empates são modelados assumindo que a diferença de desempenho em um jogo específico é pequena. Portanto, a chance de empate depende apenas da diferença da força de jogo dos dois jogadores. No entanto, descobertas empíricas no jogo do xadrez mostra que os sorteios são mais prováveis ​​entre jogadores profissionais do que iniciantes. Portanto, a chance de desenhar também parece depender do nível de habilidade ".

Essa abordagem requer modelagem específica diferente para todos os jogos (e o TrueSkill é aplicado a alguns jogos do Microsoft Xbox), por isso é adequado para Elo e Glicko (projetado apenas para xadrez), e não para classificação , nosso sistema de classificação multiuso.