As variáveis ​​aleatórias e dependem?

Podemos dizer algo sobre a dependência de uma variável aleatória e a função de uma variável aleatória? Por exemplo, depende de ?$X^2$$X$

Aqui está uma prova do comentário do @ cardinal com um pequeno toque. Se e f ( X ) são independentes, então P ( X ∈ A ∩ f - 1 ( B ) ) = P ( X ∈ A , f ( X ) ∈ B $X$$f(X)$ TomandoA=f-1(B)produz a equação P(f(X)∈B)=P(f(X)∈B)2, que tem as duas soluções 0 e 1. Assim,P(f(X

$$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$$ $A = f^{-1}(B)$ $$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$$ para todos B . Em completa generalidade, não é possível dizer mais. Se X e F ( X ) são independentes, em seguida, f ( x ) é uma variável de tal modo que para qualquer B é ou em B ou em B c com probabilidade 1. Para dizer mais, é preciso mais hipóteses, por exemplo, que os conjuntos únicos { b } são mensuráveis.$P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$$B$$X$$f(X)$$f(X)$$B$$B$$B^c$$\{b\}$

No entanto, detalhes no nível teórico da medida não parecem ser a principal preocupação do OP. Se é real ef é uma função real (e usamos o Borel σ- álgebra, digamos), assumindo B = ( - ∞ , b ] , segue-se que a função de distribuição para a distribuição de f ( X ) leva apenas o valores 0 e 1, portanto, existe um b no qual ele salta de 0 para 1 e P ( f ( X ) = b ) = $X$$f$$\sigma$$B = (-\infty, b]$$f(X)$$b$$0$$1$$P(f(X) = b) = 1$.

No final do dia, a resposta à pergunta PO é que e F ( X ) são circunstâncias muito especiais geralmente dependentes e apenas sob independente. Além disso, a medida de Dirac δ f ( x ) sempre se qualifica para uma distribuição condicional de f ( X ) dada X = x , que é uma maneira formal de dizer que, conhecendo X = x , você também sabe exatamente o que f ( X $X$$f(X)$$\delta_{f(x)}$$f(X)$$X = x$$X = x$$f(X)$é. Essa forma especial de dependência com uma distribuição condicional degenerada é característica para funções de variáveis ​​aleatórias.

Lema : Seja uma variável aleatória e seja f uma função (mensurável por Borel) de forma que X e f ( X ) sejam independentes. Então f ( X ) é constante quase certamente. Isto é, existe alguma uma ∈ R tal que P ( f ( x ) = a ) = 1 .$X$$f$$X$$f(X)$$f(X)$$a \in \mathbb R$$\mathbb P(f(X) = a) = 1$

A prova está abaixo; mas, primeiro, algumas observações. A mensurabilidade de Borel é apenas uma condição técnica para garantir que possamos atribuir probabilidades de maneira razoável e consistente. A afirmação "quase certamente" também é apenas um detalhe técnico.

A essência do lema é que se queremos e f ( X ) a ser independente, então os nossos únicos candidatos são funções da forma f ( x ) = a .$X$$f(X)$$f(x) = a$

Compare isso com o caso das funções modo que X e f ( X ) não estejam correlacionados . Essa é uma condição muito, muito mais fraca. De fato, considere qualquer variável aleatória X com média zero, terceiro momento absoluto finito e que seja simétrica em torno de zero. Tome f ( x ) = x 2 , como no exemplo da pergunta. Então C o v ( X , f ( X ) ) = E X f $f$$X$$f(X)$$X$$f(x) = x^2$ , então X e f ( X ) = X 2 não estão correlacionados.$\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$$X$$f(X) = X^2$

Abaixo, dou a prova mais simples que pude apresentar para o lema. Eu fiz isso extremamente detalhado, para que todos os detalhes sejam o mais óbvios possível. Se alguém vê maneiras de melhorá-lo ou simplificá-lo, eu gostaria de saber.

Ideia de prova : Intuitivamente, se conhecemos , conhecemos f ( X ) . Portanto, precisamos encontrar algum evento em σ ( X ) , a álgebra sigma gerada por X , que relaciona nosso conhecimento de X ao de f ( X ) . Em seguida, usamos essas informações em conjunto com a suposta independência de X e f ( X ) para mostrar que nossas opções disponíveis para f foram severamente restringidas.$X$$f(X)$$\sigma(X)$$X$$X$$f(X)$$X$$f(X)$$f$

Prova de lema : Recorde-se que e Y são independentes se e somente se para todos Um ∈ σ ( X ) e B ∈ σ ( Y ) , P ( X ∈ A , Y ∈ B ) = P ( X ∈ A ) P ( Y ∈ B ) . Seja Y = f ( X ) para alguma função mensurável de Borel $X$$Y$$A \in \sigma(X)$$B \in \sigma(Y)$$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$$Y = f(X)$$f$de modo que e Y sejam independentes. Defina A ( y ) = { ω : f ( X ( ω ) ) ≤ y } . Então, A ( y ) = { ω : X ( ω ) ∈ f - 1 ( ( - ∞ , y ] ) } e desde ( - ∞ , y $X$$Y$$\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$

$$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$$ $(-\infty,y]$é um conjunto de Borel e é Borel-mensurável, então f - 1 ( ( - ∞ , y ] ) . É também um conjunto Borel Isto implica que A ( y ) ∈ σ ( X ) (por definição ! () de σ ( X ) ).$f$$f^{-1}((-\infty,y])$$A(y) \in \sigma(X)$$\sigma(X)$

Desde que e Y são assumidos independentemente e A ( y ) ∈ σ ( X ) , em seguida, P ( X ∈ Um ( y ) , Y ≤ y ) = P ( X ∈ Um ( y ) ) P ( Y ≤ y ) = P ( f ( X ) ≤ y ) P ( f $X$$Y$$A(y) \in \sigma(X)$ E isso vale para todo y ∈ R . Mas, por definição de A ( y ) P ( X ∈ A ( y ) , Y ≤ y ) = P ( f ( X ) ≤ y , Y ≤ y ) = P ( f ( X ) ≤ y

$$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ $y \in \mathbb R$$A(y)$ Combinando esses dois últimos, obtemos que paracada y ∈ R , P ( f ( X ) ≤ y ) = P ( f ( X ) ≤ y ) P ( f ( X ) ≤ y $$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$$ $y \in \mathbb R$ então P ( f ( X ) ≤ y ) = 0 ou P ( f ( X ) ≤ y ) = 1 . Isso significa que deve haver alguma constante a ∈ R tal que a função de distribuição de f ( X ) salte de zero a um por a . Em outras palavras, f ( X ) = a quase certamente. $$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ $\Pr(f(X) \leq y) = 0$$\Pr(f(X) \leq y) = 1$$a \in \mathbb R$$f(X)$$a$$f(X) = a$

$f(X) = a$$X$$f(X)$