Como calcular o intervalo de confiança da razão de duas médias normais

26

Eu quero derivar os limites para o intervalo de confiança de para a razão de duas médias. Suponha que e sejam independentes, a razão média . Tentei resolver: mas essa equação não pôde ser resolvida em muitos casos (sem raízes). Estou fazendo algo errado? Existe uma abordagem melhor? obrigadoX 1N ( θ 1 , σ 2 ) X 2N ( θ 2 , σ 2 ) Γ = θ 1 / θ 2 Pr ( - z ( α / 2 ) ) X 1 - Γ X 2 / σ 100(1 1-α)%
X1 1N(θ1 1,σ2)X2N(θ2,σ2)Γ=θ1 1/θ2

Pr(-z(α/2))X1 1-ΓX2/σ1 1+γ2z(α/2))=1 1-α
francogrex
fonte
11
O problema é que a razão de dois números de duas distribuições normais segue a distribuição de Cauchy e, portanto, a variação é indefinida.
6
@mbq - a distribuição Cauchy não apresenta problemas para intervalos de confiança, pois o CDF é a função tangente inversa. A variação não precisa ser definida para os ICs funcionarem. E a proporção de dois RVs normais com média zero é Cauchy, mas não necessariamente dois RVs normais com média diferente de zero.
probabilityislogic
@probabilityislogic Claro, devo parar de tentar pensar nas manhãs de domingo.

Respostas:

31

O método de Fieller faz o que você deseja - calcula um intervalo de confiança para o quociente de duas médias, ambas assumidas como amostras das distribuições gaussianas.

Harvey Motulsky
fonte
É uma referência muito boa, também gosto que você tenha feito uma calculadora para ela (+1). Como esperado, porém, em sua calculadora, você afirma claramente que quando o intervalo de confiança do denominador inclui zero, não é possível calcular o IC do quociente. Eu acho que é o mesmo que acontece quando tento resolver a equação quadrática. suponha que a variação seja 1, mu1 = 0 e mu2 = 1, N = 10000. É insolúvel.
Francogrex #
2
obrigado pela calculadora online Harvey, sou um biólogo típico com experiência insuficiente em estatística e sua calculadora era exatamente o que eu precisava.
Tópico
Calculadora impressionante - exatamente o que eu estava procurando. Obrigado
Alexander
@ harvey-motulsky o link para o apêndice não funciona mais. Fiquei me perguntando se o material deste apêndice está incluído na terceira edição da Bioestatística Intuitiva?
Gabriel Southern
@GabrielSouthern Obrigado por apontar a podridão do link. Fixo.
Harvey Motulsky
1

Além disso, se você quiser calcular o intervalo de confiança do Fieller que não está usando mratios(normalmente porque você não deseja um ajuste lm simples, mas por exemplo um glmer ou glmer.nb fit), você pode usar a seguinte FiellerRatioCIfunção, com model a saída do modelo, aname o nome do parâmetro do numerador, bname o nome do parâmetro do denominador. Você também pode usar diretamente a função FiellerRatioCI_basic, a, be a matriz de covariância entre a e b.

Observe que o alfa aqui é 0,05 e "codificado" nos 1,96s do código. Você pode substituí-los pelos níveis de qualquer aluno que preferir.

FiellerRatioCI <- function (x, ...) { # generic Biomass Equilibrium Level
    UseMethod("FiellerRatioCI", x)
}
FiellerRatioCI_basic <- function(a,b,V,alpha=0.05){
    theta <- a/b
    v11 <- V[1,1]
    v12 <- V[1,2]
    v22 <- V[2,2]

    z <- qnorm(1-alpha/2)
    g <- z*v22/b^2
    C <- sqrt(v11 - 2*theta*v12 + theta^2 * v22 - g*(v11-v12^2/v22))
    minS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 - z/b * C)
    maxS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 + z/b * C)
    return(c(ratio=theta,min=minS,max=maxS))
}
FiellerRatioCI.glmerMod <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[aname]))
    b<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[bname]))
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}
FiellerRatioCI.glm <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a <- coef(model)[aname]
    b <- coef(model)[bname]
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}

Exemplo (baseado no exemplo básico do glm padrão):

 counts <- c(18,17,15,20,10,20,25,13,12)
 outcome <- gl(3,1,9)
 treatment <- gl(3,3)
 glm.D93 <- glm(counts ~ outcome + treatment, family = poisson())

 FiellerRatioCI(glm.D93,"outcome2","outcome3")
ratio.outcome2            min            max 
      1.550427      -2.226870      17.880574
cmbarbu
fonte