Por que uma variável aleatória "binomial negativa" é chamada assim?

Não entendo por que a variável aleatória "binomial negativo" tem esse nome. O que é negativo nisso? O que é binomial nisso? O que é binomial negativo sobre isso?

É uma referência ao fato de que um determinado coeficiente binomial que aparece na fórmula dessa distribuição pode ser escrito de maneira mais simples com números negativos.

Quando você realiza uma série de experimentos com probabilidade de sucesso $p$ , a probabilidade de que você veja $r$ falhas após exatamente $k$ tentativas é

pk(1-p)r.${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

Isso também pode ser escrito como

( - $(−1)^k$ pk(1-p)${−r}\choose {k}$$p^k(1−p)^r$

e a palavra "negativo" refere-se a isso nesse coeficiente binomial. Observe como essa fórmula se parece com a fórmula da distribuição binomial comum, exceto pelo coeficiente desse sinal.$−r$

Outro nome para a distribuição binomial negativa é a distribuição de Pascal, então também existe.

==================================================== =======================

Resposta mais detalhada de acordo com a Wikipedia:

A função massa probabilística da distribuição binomial negativa é

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

Aqui, a quantidade entre parênteses é o coeficiente binomial e é igual a

.$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$

Como alternativa, essa quantidade pode ser escrita da seguinte maneira, explicando o nome "binomial negativo":

.$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$

Denizens of StatsExchange, First, as boas notícias, este autor copia a fórmula da Wikipedia para que tudo esteja bem lá. A descrição que este autor escreveu estava incorreta. Ele deveria ter escrito a probabilidade de obter r falhas após trilhas k + r.
Observe que nas primeiras tentativas de k + r-1 há exatamente falhas de r-1 e k sucessos. Portanto, a fórmula inclui corretamente (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Então, por definição, o julgamento final, ou seja, o k + r ésimo julgamento, deve ser a r-ésima falha. Como esse evento é independente, simplesmente multiplicamos sua probabilidade 1-p para encontrar a probabilidade declarada.