Esta é uma pergunta decorrente de uma situação da vida real, pela qual fiquei genuinamente intrigado com sua resposta.
Meu filho deve começar a escola primária em Londres. Como somos italianos, fiquei curioso para saber quantas crianças italianas já estão frequentando a escola. Pedi isso ao Oficial de Admissão durante a inscrição e ela me disse que eles têm em média 2 crianças italianas por turma (de 30).
Agora estou no momento em que sei que meu filho foi aceito, mas não tenho outras informações sobre os outros filhos. Os critérios de admissão são baseados na distância, mas, para o propósito desta pergunta, acredito que podemos assumir que ela se baseia na alocação aleatória de uma grande amostra de candidatos.
Quantas crianças italianas devem estar na turma do meu filho? Será mais perto de 2 ou 3?
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Respostas:
Como sempre, você precisa considerar um modelo probabilístico que descreva como a escola distribui as crianças entre as turmas. Possibilidades:
Tudo isso é razoável. Dada a estratégia 2, a resposta para sua pergunta é não. Quando eles usam a estratégia 3, a expectativa será próxima de 3, mas um pouco menor. Isso ocorre porque seu filho ocupa uma "vaga" e você tem uma chance a menos de um italiano aleatório.
Quando a escola usa a estratégia 1, a expectativa também aumenta; quanto depende do número de estrangeiros por classe.
Sem conhecer sua escola, não há como responder a isso mais perfeitamente. Se você tiver apenas uma turma por ano e os critérios de admissão forem os descritos, a resposta seria a mesma de 3 acima.
Calculando 3 em detalhes:
X é o número de crianças italianas na classe. O 1 vem da criança conhecida, os 29 são o resto da turma e 2/30 é a probabilidade de um garoto desconhecido ser italiano, dado o que a escola diz. B é a distribuição binomial.
Observe que começar com não fornece a resposta correta, pois saber que uma criança específica é italiana viola a permutabilidade assumida pela distribuição binomial. Compare isso com o paradoxo de menino ou menina , onde faz diferença se você sabe que um filho é menina versus saber que o filho mais velho é menina.E( X| X≥ 1 )
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Outra maneira de ver isso é no nível de crianças individuais. Assumindo que 30 crianças tiradas aleatoriamente de uma população (que você já indicados podemos), podemos trabalhar para trás para a probabilidade aproximada de uma criança italiana sendo desenhado a partir desta população: = 1 / 15 .2 / 30 de 1 / 15
Dado que sabemos que um dos 30 é italiano, só precisamos calcular a probabilidade para os filhos restantes:
Portanto, saber que seu filho é italiano altera o número esperado de crianças italianas na classe para aproximadamente 2.933, o que é muito mais próximo de 3 que 2.
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Aqui estão meus pensamentos sobre como abordar isso:
Deixe a variável aleatória denotar o número de crianças italianas em uma classe que atualmente é do tamanho n . Seja X o indicador para uma criança nova ser italiana. Suponha que adicionemos o filho X a essa classe. Então o número esperado de crianças italianas nessa classe aumentada de tamanho n + 1 é E ( S n + X ) = E ( S n ) + E ( X ) = E ( S n ) + P (Sn n X X n + 1 . Observe que a independência não importa aqui, pois estamos apenas usando a linearidade da expectativa. Se o filho X é italiano, então X = 1 com probabilidade 1, aumentamos o valor esperado em 1.E ( Sn+ X) = E ( Sn) + E ( X) = E ( Sn) + P ( X= 1 ) X X= 1
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(observe a alteração no limite inferior da soma no último passo)
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Não. Seu conhecimento dos eventos iminentes não muda nada sobre a experiência típica da escola.
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