Como calcular

Estou tentando resolver um problema para minha tese e não vejo como fazê-lo. Eu tenho 4 observações tiradas aleatoriamente de uma distribuição uniforme . Quero calcular a probabilidade de que 3 X ( 1 ) ≥ X ( 2 ) + X ( 3 ) . X ( i ) é a estatística de ordem i (eu tomo a estatística de ordem para que minhas observações sejam classificadas do menor para o maior). Eu o resolvi para um caso mais simples, mas aqui estou perdido em como fazê-lo.$(0,1)$$3 X_{(1)}\ge X_{(2)}+X_{(3)}$$X_{(i)}$

Toda ajuda seria bem vinda.

Escreva as estatísticas da ordem como , 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ x 4 ≤ 1 . Comece observando que x 1 ≤ x 2 implica$(x_1,x_2,x_3,x_4)$$0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$$x_1 \le x_2$

$$\Pr[3x_1 \ge x_2+x_3] = 1 - \Pr[3x_1 \lt x_2+x_3] = 1 - \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})].$$

Este último evento divide-se em dois eventos separados, dependendo de qual de e ( x 2 + x 3 ) / 2 é o maior:$x_2$$(x_2+x_3)/2$

$$\eqalign{ \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})] &= \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] \\ &+ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]. }$$

Como a distribuição da junta é uniforme no conjunto , com densidade 4 ! d x 4 d x 3 d x 2 d x 1 ,$0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$$4! dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$

$$\Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] = 4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_0^{x_3/2} dx_2 \int_0^{x_2} dx_1 = \frac{1}{4}$$

e

$$\Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]=4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_{x_3/2}^{x_3} dx_2 \int_0^{(x_2+x_3)/2} dx_1 = \frac{7}{12}.$$

(Cada integral é fácil de executar como uma integral iterada; somente integrações polinomiais estão envolvidas.)

$1 - (1/4 + 7/12)$$1/6$

Editar

$y_j$$1\le j\le n+1$$y_1+y_2+\cdots+y_{n+1} = Y\ $

$$x_i = \sum_{j=1}^{i}y_j/Y,$$

$1\le i\le n$$Y$ $n\ge 3$

$$\eqalign{ \Pr[3x_1\ge x_2+x_3] &= \Pr[\frac{3y_1}{Y}\ge\frac{y_1+y_2}{Y}+\frac{y_1+y_2+y_3}{Y}]\\ &=\Pr[3y_1\ge(y_1+y_2)+(y_1+y_2+y_3)]\\ &= \Pr[y_1\ge 2y_2+y_3]\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2) \int_{2y_2+y_3}^\infty \exp(-y_1) dy_1 dy_2 dy_3\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2)\left[\exp(-2y_2-y_3)\right]dy_2 dy_3 \\ &= \int_0^\infty \exp(-2y_3)dy_3 \int_0^\infty \exp(-3y_2)dy_2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. }$$