Por que uma matriz de projeção de uma projeção ortogonal é simétrica?

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Eu sou completamente novo nisso, então espero que você me perdoe se a pergunta for ingênua. (Contexto: estou aprendendo econometria com o livro "Econometria e Métodos" de Davidson & MacKinnon , e eles parecem não explicar isso; também observei o livro de otimização de Luenberger que lida com projeções em um nível um pouco mais avançado, mas sem sorte).

Suponhamos que tem uma projecção ortogonal P com é associada matriz de projecção P . Estou interessado em projetar cada vetor em Rn em algum subespaço ARn .

Pergunta : por que segue que T , isto é, P é simétrico? Que livro didático eu poderia procurar para esse resultado?P=PTP

weez13
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Respostas:

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Este é um resultado fundamental da álgebra linear em projeções ortogonais. Uma abordagem relativamente simples é a seguinte. Se s vectores ortonormais abrangendo um m -dimensional subespaço A , e L é o n × p matriz com o u i 's como as colunas, então P = L L T . Isto decorre diretamente do fato de que a projeção ortogonal de x sobre A pode ser calculada em termos da base ortonormal de A como u1,,ummAUn×pui

P=UUT.
xAA Segue-se directamente a partir da fórmula acima queP2=Pe quePt=P.
i=1muiuiTx.
P2=PPT=P.

Também é possível dar um argumento diferente. Se é uma matriz de projeção para uma projeção ortogonal, então, por definição, para todos os x , y R n P x y - P y . Conseqüentemente, 0 = ( P x ) T ( y - P y ) = x T P T ( I - P ) y = x T ( P T - PPx,yRn

PxyPy.

para todos os x , y R n . Isto mostra que P T = P t P , onde P = ( P T ) T = ( P T P ) T = P t P = P t .
0=(Px)T(yPy)=xTPT(IP)y=xT(PTPTP)y
x,yRnPT=PTP
P=(PT)T=(PTP)T=PTP=PT.
NRH
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Obrigado pelo seu comentário perspicaz! De alguma forma, o artigo da Wikipedia, que mencionou algo sobre a auto-adjunção do operador de projeção, me impressionou, pois suas provas não são tão difíceis. :) BTW, você tem um texto de álgebra linear favorito que lida com esse tipo de coisa?
weez13
O livro de álgebra linear elementar que eu conheço melhor não cobre isso. As melhores referências que conheço são livros avançados sobre análise funcional. O livro de álgebra linear feito corretamente parece bom, mas eu não sei.
NRH
x=xT(Px)T=xPT(Px)T(yPy)=xPT(IP)yx=xTPx
(Px)T=xTPT.
PTPTP=0
1
x=xTxRnn=1x
2

Uma tentativa de intuição geométrica ... Lembre-se de que:

  1. Uma matriz simétrica é auto-adjunta.
  2. Um produto escalar é determinado apenas pelos componentes no espaço linear mútuo (e independente dos componentes ortogonais de qualquer um dos vetores).

xUMA de um segundo vetor y: x,UMAy. A seguir (2), o produto dependerá apenas dos componentes dex no período da projeção de y. Portanto, o produto deve ser o mesmo queUMAx,UMAy, e também UMAx,y seguindo o mesmo argumento.

Desde a UMA é auto-adjunta - é simétrica.

JohnRos
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Thanks a lot! Before reading your comment, I was quite confused about why self-adjointness is crucial here. Now I have some clue, thanks!
weez13