Suponha que tenha a distribuição beta Beta e siga um qui-quadrado com graus. Além disso, assumimos que e são independentes.
Qual é a distribuição do produto .
Atualizar
minha tentativa:
Está correto? se sim, como chamamos essa distribuição?
Suponha que tenha a distribuição beta Beta e siga um qui-quadrado com graus. Além disso, assumimos que e são independentes.
Qual é a distribuição do produto .
Atualizar
minha tentativa:
Está correto? se sim, como chamamos essa distribuição?
Respostas:
Após algumas observações valiosas, consegui encontrar a solução:
Temos e .fY(y)=1fX( x ) = 1B ( 1 , K- 1 )( 1 - x )K- 2 fY( y) = 12KΓ ( K)yK−1e−y/2
Além disso, temos . Portanto, se , obtemos que implica que .x = z0≤x≤1 0≤zx=zy z≤y≤∞0≤zy≤1 z≤y≤∞
Portanto: onde a última igualdade se mantém desde .B(1,K-1)=Γ(1)Γ(K-1)
Então segue uma distribuição exponencial do parâmetro ; ou equivalente, .1Z Z∼χ 2 212 Z∼χ22
fonte
Existe uma solução estatística natural agradável para esse problema para valores integrais de , mostrando que o produto possui uma . Baseia-se apenas em relacionamentos conhecidos e facilmente estabelecidos entre funções de variáveis normais padrão.χ 2 ( 2 )K χ2(2)
Quando é integral, uma distribuição Beta surge como a razão que e são independentes, tem uma e tem uma . (Veja o artigo da Wikipedia sobre a distribuição Beta, por exemplo.) ( 1 , K - 1 ) XK (1,K−1) XZXχ2(2
Qualquer é a soma dos quadrados de variáveis normais normais independentes. Conseqüentemente, é distribuído como o comprimento ao quadrado de um vetor com uma distribuição multinormal padrão em e é o comprimento ao quadrado do primeiros dois componentes quando esse vetor é projetado radialmente na esfera unitária .n X + Z 2 + 2 K - 2 = 2 K R 2 Kχ2(n) n X+Z 2+2K−2=2K R2K S 2 K - 1X/(X+Z) S2K−1
A projeção de um vetor multinormal padrão na esfera unitária tem uma distribuição uniforme porque a distribuição multinormal é esfericamente simétrica. (Ou seja, é invariável no grupo ortogonal, resultado que resulta imediatamente de dois fatos simples: (a), o grupo ortogonal fixa a origem e, por definição, não altera covariâncias; e (b) a média e covariância determinam completamente distribuição normal multivariada. Ilustrei isso para o caso em https://stats.stackexchange.com/a/7984 ). De fato, a simetria esférica mostra imediatamente que esta distribuição é uniforme, condicional ao comprimento do vetor original. A relaçãonn X / ( X + Z )n=3 X/(X+Z) portanto, é independente do comprimento.
O que tudo isso implica é que multiplicar por uma variável independente cria uma variável com a mesma distribuição que multiplicada por ; ou seja, a distribuição de , que tem uma .X/(X+Z) χ2(2K) Y X/(X+Z) X+Z X χ2(2)
fonte
Eu deprecio bastante a tática comumente usada para encontrar a densidade de , calculando primeiro a densidade articular de Z e X (ou Y ) porque é "fácil" usar jacobianos e depois obtendo f Z como uma densidade marginal (cf. resposta do Rusty Statistician). É muito mais fácil encontrar o CDF de Z diretamente e depois diferenciá-lo para encontrar o pdf. Essa é a abordagem usada abaixo.Z=g(X,Y) Z X Y fZ Z
e Y são variáveis aleatórias independentes com densidades f X ( x ) = ( K - 1 ) ( 1 - X ) K - 2 1 ( 0 , 1 ) ( x ) e f Y ( y ) = 1X Y fX(x)=(K−1)(1−x)K−21(0,1)(x) . Então, comZ=XY, temos paraz>0,
P{Z>z}fY(y)=12K(K−1)!yK−1e−y/21(0,∞)(y) Z=XY z>0
É bem conhecido que, se , em seguida, P { V > v } = e - λ v . Daqui resulta que Z = X Y tem uma densidade exponencial com o parâmetro λ = 1V∼Exponential(λ) P{V>v}=e−λv Z=XY , que também é adistribuiçãoχ2(2).λ=12 χ2(2)
fonte