Distribuição de se Beta e

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Suponha que X tenha a distribuição beta Beta (1,K1) e Y siga um qui-quadrado com 2K graus. Além disso, assumimos que X e Y são independentes.

Qual é a distribuição do produto Z=XY .

Atualizar
minha tentativa:

fZ=y=y=+1|y|fY(y)fX(zy)dy=0+1B(1,K1)2KΓ(K)1yyK1ey/2(1z/y)K2dy=1B(1,K1)2KΓ(K)0+ey/2(yz)K2dy=1B(1,K1)2KΓ(K)[2K1ez/2Γ(K1,yz2)]0=2K1B(1,K1)2KΓ(K)ez/2Γ(K1,z/2)

Está correto? se sim, como chamamos essa distribuição?

tam
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Se for lição de casa ou estudo individual, adicione a etiqueta apropriada. (Normalmente) não resolvemos esses problemas para você, mas ajudamos a guiá-lo para uma solução, o que, em geral, lhe dará uma melhor compreensão de como resolver esses problemas no futuro.
jbowman
Não tenho certeza, mas talvez isso seja de alguma ajuda: en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_beta_distribution
Você já tentou criar uma segunda variável? Diga ? Em seguida, você poderia começar a distribuição conjunta de e integrar a para obter teh distribuição de . W , Z W ZW=X+YW,ZWZ
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Não vejo onde você está usando o fato de que a função de densidade Beta é zero no complemento do intervalo . [0,1]
whuber
@whuber Acho que encontrei o erro. Gostaria de fornecer uma resposta completa ou eu faço sozinho?
tam 25/11

Respostas:

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Após algumas observações valiosas, consegui encontrar a solução:

Temos e .fY(y)=1fX(x)=1B(1,K-1)(1-x)K-2fY(y)=12KΓ(K)yK1ey/2

Além disso, temos . Portanto, se , obtemos que implica que .x = z0x1 0zx=zyzy0zy1zy

Portanto: onde a última igualdade se mantém desde .B(1,K-1)=Γ(1)Γ(K-1)

fZ=y=y=+1|y|fY(y)fX(zy)dy=z+1B(1,K1)2KΓ(K)1yyK1ey/2(1z/y)K2dy=1B(1,K1)2KΓ(K)z+ey/2(yz)K2dy=1B(1,K1)2KΓ(K)[2K1ez/2Γ(K1,yz2)]z=2K1B(1,K1)2KΓ(K)ez/2Γ(K1)=12ez/2
B(1,K1)=Γ(1)Γ(K1)Γ(K)

Então segue uma distribuição exponencial do parâmetro ; ou equivalente, .1Z Zχ 2 212Zχ22

tam
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Existe uma solução estatística natural agradável para esse problema para valores integrais de , mostrando que o produto possui uma . Baseia-se apenas em relacionamentos conhecidos e facilmente estabelecidos entre funções de variáveis ​​normais padrão.χ 2 ( 2 )Kχ2(2)

Quando é integral, uma distribuição Beta surge como a razão que e são independentes, tem uma e tem uma . (Veja o artigo da Wikipedia sobre a distribuição Beta, por exemplo.) ( 1 , K - 1 ) XK(1,K1) XZXχ2(2

XX+Z
XZXZ χ 2 ( 2 K - 2 )χ2(2)Zχ2(2K2)

Qualquer é a soma dos quadrados de variáveis ​​normais normais independentes. Conseqüentemente, é distribuído como o comprimento ao quadrado de um vetor com uma distribuição multinormal padrão em e é o comprimento ao quadrado do primeiros dois componentes quando esse vetor é projetado radialmente na esfera unitária .n X + Z 2 + 2 K - 2 = 2 K R 2 Kχ2(n)nX+Z2+2K2=2KR2KS 2 K - 1X/(X+Z)S2K1

A projeção de um vetor multinormal padrão na esfera unitária tem uma distribuição uniforme porque a distribuição multinormal é esfericamente simétrica. (Ou seja, é invariável no grupo ortogonal, resultado que resulta imediatamente de dois fatos simples: (a), o grupo ortogonal fixa a origem e, por definição, não altera covariâncias; e (b) a média e covariância determinam completamente distribuição normal multivariada. Ilustrei isso para o caso em https://stats.stackexchange.com/a/7984 ). De fato, a simetria esférica mostra imediatamente que esta distribuição é uniforme, condicional ao comprimento do vetor original. A relaçãonnX / ( X + Z )n=3X/(X+Z)portanto, é independente do comprimento.

O que tudo isso implica é que multiplicar por uma variável independente cria uma variável com a mesma distribuição que multiplicada por ; ou seja, a distribuição de , que tem uma .X/(X+Z)χ2(2K)YX/(X+Z)X+ZXχ2(2)

whuber
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Muito boa analogia! Sinto-me um pouco incerto sobre o parágrafo final, embora a simplificação só ocorra porque está nos dois lados da multiplicação, o que não pode funcionar para um independente . X+Z χ2(2K)
Xi'an
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Mas, após algumas reflexões no metrô de Paris, percebi que, porque e ( X + Z ) são independentes, usando ( X + Z ) × X / ( X + Z ) ou Y × X / ( X + Z ) levam à mesma distribuição. Parabéns! X/(X+Z)(X+Z)(X+Z)×X/(X+Z)Y×X/(X+Z)
Xi'an
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adenda: o raciocínio para não-inteiro de K, bem como, se se definir um como uma gama Ga ( q / 2 , 1 / 2 ) . χq2Ga(q/2,1/2)
Xi'an
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@ Xi'an Obrigado por esses comentários reveladores. De fato, uma maneira de explorar o reconhecimento de que e X + Z são independentes é buscar a implicação de que suas funções de densidade serão separáveis: e essa idéia se aplica sem modificação ao caso geral de K não integral . Mesmo para aqueles que preferem calcular a convolução X Y diretamente, esses insights estatísticos sugerem uma maneira simples e eficaz de prosseguir com a integração por meio de uma mudança apropriada de variáveis. X/(X+Z)X+ZKXY
whuber
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Eu deprecio bastante a tática comumente usada para encontrar a densidade de , calculando primeiro a densidade articular de Z e X (ou Y ) porque é "fácil" usar jacobianos e depois obtendo f Z como uma densidade marginal (cf. resposta do Rusty Statistician). É muito mais fácil encontrar o CDF de Z diretamente e depois diferenciá-lo para encontrar o pdf. Essa é a abordagem usada abaixo.Z=g(X,Y)ZXYfZZ

e Y são variáveis aleatórias independentes com densidades f X ( x ) = ( K - 1 ) ( 1 - X ) K - 2 1 ( 0 , 1 ) ( x ) e f Y ( y ) = 1XYfX(x)=(K1)(1x)K21(0,1)(x). Então, comZ=XY, temos paraz>0, P{Z>z}fY(y)=12K(K1)!yK1ey/21(0,)(y)Z=XYz>0

P{Z>z}=P{XY>z}=y=z12K(K1)!yK1ey/2[x=zy1(K1)(1x)K2dx]dy=y=z12K(K1)!yK1ey/2(1zy)K1dy=y=z12K(K1)!(yz)K1ey/2dy=ez/2012K(K1)!tK1et/2dy   on setting yz=t=ez/2on noting that the integral is thatof a Gamma pdf

É bem conhecido que, se , em seguida, P { V > v } = e - λ v . Daqui resulta que Z = X Y tem uma densidade exponencial com o parâmetro λ = 1VExponential(λ)P{V>v}=eλvZ=XY , que também é adistribuiçãoχ2(2).λ=12χ2(2)

Dilip Sarwate
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