Conjectura relacionada à Lei Kolmogorov 0-1 (para eventos)

Seja um espaço de probabilidade. Conjetura:$(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$

Suponha que tenhamos os eventos st , ou . Existe uma sequência independente de eventos st$A_1, A_2, ...$$\forall \ A \in \bigcap_n \sigma(A_n, A_{n+1}, ...)$$P(A) = 0$$1$$B_1, B_2, ...$

$$\tau_{A_n} := \bigcap_n \sigma(A_n, A_{n+1}, ...) = \bigcap_n \sigma(B_n, B_{n+1}, ...) := \tau_{B_n}$$

Isso é verdade?

Eu acho que existe uma função st são independentes, então podemos escolher . Isso é verdade? Porque porque não? Caso contrário, de que outra forma posso provar ou refutar a conjectura acima? Se for verdade, acho que pode ser provado modificando a prova da Lei Kolmogorov 0-1 (para eventos).$f: \mathbb N \to \mathbb N$$A_{f(n)}$$B_n = A_{f(n)}$

Talvez uma dessas subsequências de conjuntos seja independente:

Acho que temos isso

onde e . i ∈ { 0 , 1 , 2 , . . . , m - 1 $m \in \mathbb N$$i \in \{0, 1, 2, ..., m-1\}$

Parece que precisamos de qualquer , se existir, para satisfazer a seguinte condição:$f(n)$

o que eu acho que é verdade se (e somente se?)$f(n) \ge n$ .

Outros possíveis candidatos a :$f(n)$ f : N → N ( * * ) f ( n ) ≥ n (suponha que as variáveis ​​sejam st estão satisfeitas. Se necessário, ou também.)$f: \mathbb N \to \mathbb N$$(**)$$f(n) \ge n$

1. $\sum_{i=0}^{m} a_i n^i$

2. $2^n, 3^n, ...$

3. $\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n$

4. t > um e 1 / e$\lfloor{t^n}\rfloor, \lceil{t^n}\rceil$ ( acho que$t > e^{1/e}$ )

5. $\lfloor{\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n}\rfloor, \lceil{\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n}\rceil$

6. $\lfloor{\text{linear combination of trigonometric functions}}\rfloor, \lceil{\text{linear combination of trigonometric functions}}\rceil$

7. $\lfloor{\text{Some linear combination of the above}}\rfloor, \lceil{\text{Some linear combination of the above}}\rceil$

Supondo que a conjectura seja verdadeira , acho que não é necessário encontrar que funcione para todas as sequências possíveis de eventos porque esse pode nem existir.A 1 , A 2 , . . . f ( n $f(n)$$A_1, A_2, ...$$f(n)$

Para refutar a conjectura : Acho que devemos mostrar que essa sequência sendo independente implica que tail nunca será igual a tail, pois tail será trivial por Kolmogorov 0-1 Law (para eventos).B n A n B n P$B_n$$B_n$$A_n$$B_n$$\mathbb P-$

Algo que pode ajudar: podemos mostrar que ou e não são independentes, mas não tenho certeza de que a conjectura seja contestada porque poderia construir alguns 's que se parecem com:1 ∀ n ∈ N , A f ( n ) , um f ( n + 1 ) , . . . B $\forall \ A \in \bigcap_n \sigma(A_{f(n)}, A_{f(n+1)}, ...), P(A) = 0$$1$$\forall n \in \mathbb N, A_{f(n)}, A_{f(n+1)}, ...$$B_n$

1. $$B_n = A_{n+1} \setminus A_n$$

2. $$B_n = A_{n} \setminus A_{n-1}, A_0 = \emptyset$$

3. $$B_n = \bigcap_m A_{mn}$$

4. $$B_n = \bigcup_m A_{mn}$$

5. $$B_{2n} = \bigcap_m A_{mn}, B_{2n+1} = \bigcup_m A_{mn}$$

6. $$B_n = \limsup_m A_{mn}$$

7. $$B_n = \liminf_m A_{mn}$$

8. $$B_{2n} = \limsup_m A_{mn}, B_{2n+1} = \liminf_m A_{mn}$$

Sem dizer, é claro, que qualquer um desses satisfaz mas esse não precisa estar no formato .τ A n = τ B n B n A f ( n $B_n$$\tau_{A_n} = \tau_{B_n}$$B_n$$A_{f(n)}$

Borel-Cantelli:

1. Se . Portanto, é independente.B m = lim sup Um m $\sum_n P(A_n) < \infty \to 0 = P(\limsup A_n) = P(\limsup A_{mn}) \ \forall m \in \mathbb N$$B_m = \limsup A_{mn}$

2. Se , talvez essa extensão do Borel-Cantelli ? Não tenho muita certeza se entendi ou como seria útil. Acho que não podemos concluir nada se tivermos .P ( lim sup Um n$\sum_n P(A_n) = \infty$$P(\limsup A_n)$

3. Depois, há o caso de mas as condições anteriores não são satisfeitas.$\sum_n P(A_n) = \infty$

Se você deseja que os eventos sejam independentes de uma maneira interessante (não simplesmente porque ou ), a conjectura é falsa.P ( B n ) = 0 P ( B n ) = $B_n$$\mathbb{P}(B_n) = 0$$\mathbb{P}(B_n) = 1$

Aqui está um exemplo pedante. Suponha que seja um espaço de probabilidade adequadamente rico. $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$

Deixe ser -null, isto é . Tome , de modo que a cauda álgebra seja .P P ( A ) = 0 A i = A σ G = { ∅ , A , A c , Ω $A \in \mathcal{F}$$\mathbb{P}$$\mathbb{P}(A) =0$$A_i = A$$\sigma$$\mathcal{G} = \{\emptyset, A, A^c, \Omega\}$

Note que em particular é finito.$\mathcal{G}$

Agora, suponha que seja uma sequência independente de eventos com limitado a e . Então a cauda -algebra não é gerada de forma contável. (Veja, por exemplo, o Exercício 1.1.18 http://math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf , que usa um argumento como eu descrevi acima - qualquer -trivial -algebra gerado um átomo de massa , mas não possui esse átomo).P ( B n ) 0 1 σ H P σ 1 $B_1, B_2, \ldots$$\mathbb{P}(B_n)$$0$$1$$\sigma$$\mathcal{H}$$\mathbb{P}$$\sigma$$1$$\mathcal{H}$

Portanto, é finito, mas nem é gerado de forma contável.$\mathcal{G}$$\mathcal{H}$

Edição 2: se você aceitar$\mathbb{P}(B_n) = 0$P σ G E 1 , E 2 ,…∈ G ⊂ F G P E n E c n B B 1 , 1 = E 1 B 2 , 1 = E 1 , B 2 , 2 = E 2 ,…, B k , j = E j , poderá replicar qualquer -trivial -algebra gerado de forma contável . Mais detalhadamente, suponha que seja gerado pelos eventos . Se for trivial, os serão todos independentes, em virtude de serem nulos (ou ser nulo). Agora faça uma construção triangular para os eventos : , , . $\mathbb{P}$$\sigma$$\mathcal{G}$$E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{G}\subset\mathcal{F}$$\mathcal{G}$$\mathbb{P}$$E_n$$E_n^c$$B$$B_{1,1} = E_1$$B_{2,1} = E_1, B_{2,2} = E_2,\ldots,B_{k,j} = E_j$$1\le j \le k$

Então é uma sequência contável (com ordenação natural para os índices) de eventos independentes cuja cauda álgebra é .σ $(B_{k,j})$$\sigma$$\mathcal{G}$

Então, aqui eu acho que é a pergunta-chave: suponha que seja uma cauda trivial gerável de maneira contável álgebra (proveniente de eventos não nulos que possam ser dependentes). Pode ser realizado como a cauda -álgebra para alguns eventos nulos?P σ G$\mathcal{G}$$\mathbb{P}$$\sigma$$\mathcal{G}$$\sigma$

Edit 1: Uma área cinza é o que acontece se você aceitar , embora esse não pareça ser o objetivo da pergunta original.$\mathbb{P}(B_n)\to 0$