Para intuição, quais são alguns exemplos da vida real de variáveis ​​aleatórias não correlacionadas, mas dependentes?

14

Ao explicar por que não correlacionado não implica independente, existem vários exemplos que envolvem um monte de variáveis ​​aleatórias, mas todas parecem muito abstratas: 1 2 3 4 .

Essa resposta parece fazer sentido. Minha interpretação: Uma variável aleatória e seu quadrado podem não estar correlacionados (já que aparentemente a falta de correlação é algo como independência linear), mas elas são claramente dependentes.

Acho que um exemplo seria que (padronizado?) Altura e altura 2 podem não estar correlacionadas, mas dependentes, mas não vejo por que alguém iria querer comparar altura e altura 2 .22

Com o objetivo de dar intuição a um iniciante na teoria elementar das probabilidades ou propósitos semelhantes, quais são alguns exemplos da vida real de variáveis ​​aleatórias não correlacionadas, mas dependentes?

BCLC
fonte
1
Isso não responde à sua pergunta, mas parece relevante: às vezes um rv e seu quadrado estão correlacionados e às vezes não correlacionados. Por exemplo, se X é uniforme em [0,1], X e X ^ 2 não são correlacionados. Mas se X é uniforme em [-1, 1], X e X ^ 2 não são correlacionados. (Faça um desenho para ajudar a ver isso.) No entanto, em ambos os casos, X e X ^ 2 são dependentes.
26815 Martha
@ Martha, há um erro de digitação no seu comentário. Eu acho que é o primeiro 'não correlacionado' que deve ser 'correlacionado'. ;)
Um velho no mar.
@Anoldmaninthesea correlacionado e às vezes correlacionado?
BCLC
1
@BCLC "se X for uniforme em [0,1], então X e X ^ 2 não serão correlacionados." Deveria ser "se X é uniforme em [0,1], então X e X ^ 2 estão correlacionados.", Eu acho.
Um velho no mar.
@Anoldmaninthesea Você está correto: Correlacionado em [0,1], mas não correlacionado em [-1,1]. Obrigado por apontar o erro de digitação.
27615 Martha

Respostas:

16

Em finanças, os efeitos GARCH (heterocedasticidade condicional autoregressiva generalizada) são amplamente citados aqui: retornos de ações , com P t o preço no momento t , eles próprios não estão correlacionados com seu próprio passado r t - 1 , se os mercados de ações são eficientes (mais, você poderia facilmente e rentável prever onde os preços estão indo), mas seus quadrados r 2 t e r 2rt: =(Pt-Pt-1)/Pt-1Pttrt-1rt2 não são: existe dependência de tempo nas variações, que se agrupam no tempo, com períodos de alta variação em tempos voláteis.rt-12

Aqui está um exemplo artificial (mais uma vez, eu sei, mas as séries "reais" de retorno de ações podem parecer semelhantes):

insira a descrição da imagem aqui

Você vê o cluster de alta volatilidade em torno de, em particular, .t400

Gerado usando

library(TSA)
garch01.sim <- garch.sim(alpha=c(.01,.55),beta=0.4,n=500)
plot(garch01.sim, type='l', ylab=expression(r[t]),xlab='t')
Christoph Hanck
fonte
Graças ao valente rei das renas pungentes Hanck. Um pouco de rigor, por favor? ^ - ^ Com retorno das ações, você quer dizer Rt = (St + 1-St) / St? Quadrados de St ou quadrados ou Rt?
BCLC
1
Eu adicionei um pouco de esclarecimento
Christoph Hanck
Isso é R?  
BCLC 18/02/19
É R. Requer o pacote TSA .
Toliveira 22/05/19
5

Um exemplo simples é uma distribuição bivariada que é uniforme em uma área em forma de anel. As variáveis ​​não são correlacionadas, mas claramente dependentes - por exemplo, se você souber que uma variável está próxima de sua média, a outra deve estar distante de sua média.

rvl
fonte
Quais são exatamente as duas variáveis?
BCLC
XYf(x,y)=1/3π1<x2+y2<20 0
Bem, acho que exemplos de física são da vida real. RVL Graças. Por que seu exemplo é verdadeiro?
BCLC
3
Desenhe um gráfico da região onde a densidade é diferente de zero e pense nisso.
RVL
4

Eu achei a figura a seguir do wiki é muito útil para intuição. Em particular, a linha inferior mostra exemplos de distribuições não correlacionadas, mas dependentes.

Legenda do gráfico acima no wiki: Vários conjuntos de pontos (x, y), com o coeficiente de correlação de Pearson de xey para cada conjunto. Observe que a correlação reflete o barulho e a direção de um relacionamento linear (linha superior), mas não a inclinação desse relacionamento (meio), nem muitos aspectos dos relacionamentos não lineares (abaixo). NB: a figura no centro tem uma inclinação de 0, mas nesse caso o coeficiente de correlação é indefinido porque a variação de Y é zero.

yuqian
fonte