Explicar o algoritmo Backward para o modelo Markov oculto

Eu implementei os algoritmos Viterbi e Forward , mas, estranhamente, não consigo entender como o algoritmo Backward funciona. Intuitivamente, sinto que preciso fazer a mesma coisa que no Forward apenas para trás, usando os valores calculados durante a propagação do Forward .

Minha intuição está correta?

Eu li muitos slides e estou cansado de notação matemática neste momento. Isso não ajuda. Eu preciso de algo que em inglês simples explique a diferença entre os algoritmos Backward e Forward .

Você pode fornecer uma breve explicação sobre como é feito o algoritmo Backward ?

Suponha o seguinte pequeno HMM e os resultados do algoritmo Forward para a sequência "BB" abaixo:

START -> 1
H: 0.5 * 0.8 = 0.4
L: 0.5 * 0.6 = 0.3

1 -> 2
H: 0.4 * 0.2 * 0.8 + 0.3 * 0.6 * 0.8 = 0.208
L: 0.4 * 0.8 * 0.6 + 0.3 * 0.4 * 0.6 = 0.264

2 -> END
END: 0.208 * 0.3 + 0.264 * 0.7 = 0.2472

$t$$z_t$$t$$x_t$$\alpha_t(i)$$\beta_t(i)$$i$

$\alpha_t(i)=P(x_t=i,z_{1:t})$

$\alpha_t(i)$$i$$t$$t$

$\beta_t(i) = P(z_{t+1:T}\mid x_t=i)$$t+1$$i$$t$

$\beta_t(i)$

$P(z_{t+1:T}\mid x_t=i)=\sum\limits_jP(x_{t+1}=j,z_{t+1:T}\mid x_{t}=i)$

$P(x_{t+1}=j,z_{t+1:T}\mid x_{t}=i) = P(z_{t+2:T},z_{t+1},x_{t+1}=j\mid x_{t}=i)\\ =P(z_{t+2:T}\mid z_{t+1},x_{t+1}=j, x_{t}=i)P(z_{t+1}\mid x_{t+1}=j, x_{t}=i)P(x_{t+1}=j\mid x_{t}=i)$

$P(z_{t+2:T}\mid x_{t+1}=j)P(z_{t+1}\mid x_{t+1}=j)P(x_{t+1}=j\mid x_{t}=i)$

$P(z_{t+2:T}\mid x_{t+1}=j) =\beta_{t+1}(j)$

$P(z_{t+1:T}\mid x_t=i)$

$\beta_t(i) = P(z_{t+1:T}\mid x_t=i) = \sum\limits_j \beta_{t+1}(j)P(z_{t+1}\mid x_{t+1}=j)P(x_{t+1}=j\mid x_t=i)$

$\beta_t$

$\beta_T(i) = P(\emptyset \mid x_T=i)=1$$i$$T=2$