Todas as bolas na urna têm a mesma cor (quando não podem ser vistas claramente)

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Eu tenho um problema que se reduz a bolas nas urnas (na verdade é sobre referência e alelos alternativos nas populações).

Suponha que eu tenha uma urna grande e bem misturada (iid draws) que possa conter duas cores de bolas: água-marinha e azul de ovo de robin ( a e r, respectivamente). Eles têm cores próximas, portanto, às vezes, uma pessoa que os classifica comete um erro ao identificar a cor depois de tirar uma bola de uma urna. Vamos ser a probabilidade de um erro quando a bola é realmente r e quando a bola é realmente um . Suponha que conheço esses números (acho que eles são menores que 0,01, mas ainda precisam verificar) e escolhi um significado. $e_r$ $e_a$

Numa experiência, o meu companheiro chama bolas da urna e identifica bolas como cor r e como um ( ). Ele então me diz e . Quero testar que todas as bolas são r versus a urna contém pelo menos uma bola, dado o número de bolas sacadas. $n$ $r$ $a$ $n=r+a$ $r$ $a$ $H_0$ $H_a$

Meu objetivo é realizar o teste em 2 níveis diferentes para dar uma classificação "estrela" à força dos resultados relatados. Não foi possível rejeitar em 0,05 = 2 estrelas, rejeitado em 0,05 = 3 estrelas e rejeitado em 0,01 = 4 estrelas.

Que teste posso usar para esse problema? (Embora eu tenha colocado isso em termos convencionais, eu ficaria feliz em obter um fator Bayes e em estabelecer limites com base nisso. Também estou feliz com testes que exigem um certo número de medições para validade - posso apenas classificar amostras muito pequenas como "não pôde rejeitar")

Observe que isso é diferente de testar uma proporção porque esses testes não têm erro na medição (e não funcionam para a proporção = 0 ou 1). Pensei em tentar definir uma proporção diferente de zero usando algum tipo de fator de falsificação com base na taxa de erro e no tamanho da amostra (por exemplo, testando onde é a proporção verdadeira, mas não consegui com um número bem justificado). Também comecei a tentar obter meu próprio teste, mas estava demorando um pouco e esse parece ser o tipo de problema que alguém teria investigado antes. $H_0$ $H_0=P \le e_r$ $P$

Editar Reescreva a pergunta um pouco para esclarecer que não conheço a sequência de empates / classificações

hypothesis-testing Epônimo
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Eu admito que não li completamente a outra resposta, mas uma abordagem grosseira seria apenas observar que segue distribuição binomial quando todas as bolas são azul-ovo de robin, para que você possa rejeitar quando é "muito grande" com base no modelo binomial. Se isso não funcionar, talvez um teste de razão de verossimilhança seja melhor, o que parece ser o que Zachary Blumenfeld está fazendo. $a$ $(n, p = e_r)$ $a$

dsaxton
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Eu acho que tenho a função de probabilidade (divulgador completo, não tenho 100% de certeza). Depois de obter uma probabilidade, o restante do teste de hipóteses deve ser mais fácil.

Suponha que você tenha desenhado uma amostra do tamanho denotada como . Para simplificar, digamos; $n$ $(X_1,...X_n)$

X_{i} = {\begin{cases} 1 i f c l a s s i f i e d a s c o l o r a \\ 0 i f c l a s s i f i e d a s c o l o r r \end{cases}

$X_i = \begin{cases} 1\;\;\mathrm{if \; classified \; as\; color}\;\;\mathbf{a}\\ 0\;\;\mathrm{if \; classified \; as\; color}\;\;\mathbf{r} \end{cases}$ mais o indicador de cores "verdadeiro" da observação como tal que; Suponha também que a taxa de erro seja conhecida, .

i

$i$

X_{i}^{*}

$X_i^*$

X_{i}^{*} = {\begin{cases} 1 i f o b s e r v a t i o n i s c o l o r a \\ 0 i f o b s e r v a t i o n i s c o l o r r \end{cases}

$X^*_i = \begin{cases} 1\;\;\mathrm{if \; observation\; \; is\; color}\;\;\mathbf{a}\\ 0\;\;\mathrm{if \; observation \; is\; color}\;\;\mathbf{r} \end{cases}$

e_{r} \in (0, 1)

$e_r \in (0,1)$

A probabilidade de condicional em é então uma distribuição de Bernoulli; Também podemos expressar isso como; Também sabemos a probabilidade de e que e depois de alguma álgebra; $X_i$ $X^*_i$

P (X_{i} = 1 | X_{i}^{*}, e_{r}) = {\begin{cases} 1 - e_{r} i f X_{i}^{*} = 1 \\ e_{r} i f X_{i}^{*} = 0 \end{cases}

$P(X_i=1|X^*_i,e_r)=\begin{cases} 1-e_r\;\;\mathrm{if}\;\;X^*_i=1\\ e_r\;\;\mathrm{if}\;\;X^*_i=0 \end{cases}$

P (X_{i} | X_{i}^{*}, e_{r}) = X_{i}^{*} [(1 - e_{r})^{X_{i}} e_{r}^{1 - X_{i}}] + (1 - X_{i}^{*}) [e_{r}^{X_{i}} (1 - e_{r})^{1 - X_{i}}]

$P(X_i|X^*_i,e_r)=X^*_i\bigg[(1-e_r)^{X_i} e_r^{1-X_i}\bigg]+(1-X^*_i)\bigg[e_r^{X_i} (1-e_r)^{1-X_i}\bigg]$

X_{i}^{*}

$X^*_i$

P (X_{i}^{*} | p) = p^{X_{i}^{*}} (1 - p)^{1 - X_{i}^{*}}

$P(X^*_i|p) = p^{X^*_i}(1-p)^{1-X^*_i}$

P (X_{i} | e_{r}, p) = P (X_{i} | X_{i}^{*} = 1, e_{r}) P (X_{i}^{*} = 1 | p) + P (X_{i} | X_{i}^{*} = 0, e_{r}) P (X_{i}^{*} = 0 | p)

P (X_{i} | e_{r}, p) = p [(1 - e_{r})^{X_{i}} e_{r}^{1 - X_{i}}] + (1 - p) [e_{r}^{X_{i}} (1 - e_{r})^{1 - X_{i}}]

$P(X_i|e_r,p) = p\bigg[(1-e_r)^{X_i} e_r^{1-X_i}\bigg]+(1-p)\bigg[e_r^{X_i} (1-e_r)^{1-X_i}\bigg]$

Então sua probabilidade é;

L (p ∣ X_{1}, . ., X_{n}, e_{r}) = \prod_{i = 1}^{n} P (X_{i} | e_{r}, p)

$\mathcal{L}(p\mid X_1,..,X_n,e_r)=\prod_{i=1}^n P(X_i|e_r,p)$

= \prod_{i = 1}^{n} p [(1 - e_{r})^{X_{i}} e_{r}^{1 - X_{i}}] + (1 - p) [e_{r}^{X_{i}} (1 - e_{r})^{1 - X_{i}}]

$= \prod_{i=1}^n p\bigg[(1-e_r)^{X_i} e_r^{1-X_i}\bigg]+(1-p)\bigg[e_r^{X_i} (1-e_r)^{1-X_i}\bigg]$

Seu teste de hipótese é reduzido para vs . Você pode fazer isso com um fator Bayes, ou com um erro padrão derivado da probabilidade, ou mesmo através de uma inicialização paramétrica. Como você desejar. Agora que você tem a probabilidade, o resto deve ser fácil. $H_0: p=1$ $H_1: p\neq 0$

Zachary Blumenfeld
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Vejo mas não . Para fazer , eu acho que você precisa tanto e

P (X_{i} = 1 | X_{i}^{*}, e_{r})

$P(X_i=1|X_i^*,e_r)$

P (X_{i} = 0 | X_{i}^{*}, e_{a})

$P(X_i=0|X_i^*,e_a)$

P (X_{i} | . . .)

$P(X_i|...)$

e_{r}

$e_r$

e_{a}

$e_a$

epónimo

Desculpe, eu assumi neste problema, e isso terá que ser alterado. Eu também escrevi a hipótese do oposto maneira de contornar (o nulo deve ser , mas isso é facilmente alterado também.

e_{r} = e_{a}

$e_r=e_a$

p = 0

$p=0$

Zachary Blumenfeld

Todas as bolas na urna têm a mesma cor (quando não podem ser vistas claramente)

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