Comparação entre estimadores de Bayes

1. Considere a perda quadrática , com o dado previamente que . Seja a probabilidade. Encontre o estimador de Bayes .$L(\theta,\delta)=(\theta-\delta)^2$$\pi(\theta)$$\pi(\theta)\sim U(0,1/2)$$f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$$\delta^\pi$

2. Considere a perda quadrática ponderada que com anterior . Seja seja a probabilidade. Encontre o estimador de Bayes .$L_w(\theta,\delta)=w(\theta)(\theta-\delta)^2$$w(\theta)=\mathbb{I}_{(-\infty,1/2)}$$\pi_1(\theta)=\mathbb{I}_{[0,1]}(\theta)$$f(x|\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x), \theta>0$$\delta^\pi_1$

3. Compare e$\delta^\pi$$\delta^\pi_1$

Primeiro, notei que , e assumi que essa é a probabilidade, caso contrário não recebo nenhum posterior, então portanto o estimador de Bayes em relação à perda quadrática é $f(x|\theta)\sim Beta(\theta,1)$

$$\pi(\theta|x)\propto f(x|\theta)\pi(\theta)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}*2\mathbb{I}_{(0,1/2)}(\theta)\sim Beta(\theta,1)$$ $$\mathbb{E}[\pi(\theta|x)]=\frac{\theta}{\theta+1}$$

Estou procurando no livro The Bayesian Choice e há um teorema sobre o estimador de Bayes associado à perda quadrática ponderada e é dado por

$$\delta^\pi(x)=\frac{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)\theta|x]}{\mathbb{E}^\pi[w(\theta)|x]}$$

Alguém pode me explicar como eu o calculo?

O que eu tentei é:

$$\delta^\pi(x)=\frac{\frac{\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}}{\frac{\int f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta}{\int w(\theta)f(x\theta)\pi(\theta)d\theta}}$$

Eu sei que o suporte é , mas quando tentei integrar no numerador$[0,\frac{1}{2}]$

$$\int \theta w(\theta)f(x|\theta)\pi(\theta)d\theta=\int_0^\frac{1}{2}\theta\theta x^{\theta-1}d\theta=\frac{1}{x}\int_0^\frac{1}{2}\theta^2 x^\theta d\theta$$

Não tenho bons resultados.

Primeiro, observe que eu corrigi o texto original da pergunta, pois o indicador funciona em suas definições de probabilidade, pois devem ser funções de not . Portanto, a probabilidade é que se integra claramente a um:$x$$\theta$

$$f(x)=\theta x^{\theta-1}\mathbb{I}_{[0,1]}(x)$$ $$\int_0^1 \theta x^{\theta-1}\text{d}x = 1$$

Segundo, o posterior em não é uma função Beta, pois, como indicado por Greenparker Devido à restrição nos valores de também não é uma distribuição gama, mas um truncamento da distribuição gama.$\theta$

$$\pi(\theta|x)\propto\, \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\theta x^{\theta-1}\propto \mathbb{I}_{[0,1/2]}(\theta)\,\theta \exp\{\log(x)\theta\}$$ $\theta$

Portanto, o estimador Bayes é a expectativa posterior que podem parecer exigir o uso da função Gamma incompleta, mas que podem ser derivadas de forma fechada pela integração por parte: desde

$$\begin{align*}\mathbb{E}[\theta|x] &= \int_0^{1/2} \theta\times\theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\&= \int_0^{1/2} \theta^2 \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta \Big/ \int_0^{1/2} \theta \exp\{\log(x)\theta\}\text{d}\theta\\\end{align*}$$ $$\int_0^{1/2} \theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{-1}{\alpha}\left[\theta^k \exp\{-\alpha\theta\}\right]_0^{1/2} + \frac{k}{\alpha}\int_0^{1/2} \theta^{k-1} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta$$ $$\int_0^{1/2} \exp\{-\alpha\theta\}\text{d}\theta = \frac{1-\exp\{-\alpha/2\}}{\alpha}$$

Por fim, como indicado no meu livro , de fato, minimizar in equivale a minimizar em que é equivalente a minimizar em que equivale a substituir o original original por um novo que precisa ser renormalizado em uma densidade, ou seja, $\delta$

$$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta|x) \text{d}\theta$$ $\delta$ $$\int w(\theta)(\theta-\delta)^2 \pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$$ $\delta$ $$\int (\theta-\delta)^2 w(\theta)\pi(\theta)f(x|\theta) \text{d}\theta$$ $\pi$$w(\theta)\pi(\theta)$ $$\pi_1(\theta)=w(\theta)\pi(\theta) \Big/\int w(\theta)\pi(\theta)\text{d}\theta$$

Sua resposta para a parte da perda de erro ao quadrado está errada.

$$\pi(\theta|x) \propto f(x|\theta) \pi(\theta) = 2\theta x^{\theta-1}I_{(0,1/2)}(\theta).$$

Esta é uma distribuição em , não em , e a variável aleatória no posterior é . Portanto, sua resposta está incorreta e a resposta correta seria a média posterior dessa distribuição.$Beta(\theta,1)$$x$$\theta$$\theta$

Para a segunda parte,

(O anterior da função de perda ponderada é mas você a refere como . Estou mudando a notação de volta para .)$\pi_1$$\pi$$\pi_1$

Let , onde é uma constante de normalização. Você precisa calcular$\pi'(\theta) = cw(\theta) \pi_1(\theta)$$c$

$$\begin{align*} \delta^{\pi_1}(x) & = \dfrac{E^{\pi_1}[w(\theta) \theta |x ]}{E^{\pi_1}[w(\theta|x)]}\\ & = \dfrac{\int w(\theta) \theta f(x|\theta) \pi_1(\theta)\, d\theta}{\int w(\theta) f(x|\theta)\pi_1(\theta)\, d\theta}\\ & = \dfrac{\int \theta f(x|\theta) \pi'(\theta) \,d\theta}{\int f(x|\theta) \pi'(\theta) \, d\theta}\\ & = E^{\pi'}[\theta|x] \end{align*}$$

Assim, para a função de perda ponderada de mínimos quadrados, o teorema diz que a estimativa de Bayes é a média posterior em relação a um anterior diferente. O anterior é

$$\pi'(\theta) \propto w(\theta) \pi_1(\theta).$$

A constante de normalização é .$\int_{\theta} w(\theta) \pi(\theta) d\theta = E_{\pi_1}[w(\theta)]$

$$\begin{align*} E_{\pi_1}[w(\theta)] & = \int_{0}^{1/2} I_{0,1}(\theta) d(\theta) = \frac{1}{2}. \end{align*}$$

Portanto, o anterior é . É o mesmo que você teve na primeira pergunta.$\pi'(\theta) = 2I_{(0,1/2)}(\theta)$

Assim, a resposta para os cenários (seja o que for) será a mesma. Você pode encontrar a integral aqui . Embora possa ser suficiente corrigir a forma da resposta e não completar a integral.