Um nome para produto cruzado dependente de operador

Suponha que tenhamos matriz . Diferentes transformações usando diferentes operadores em colunas podem levar a uma nova matriz simétrica . Por exemplo, a matriz de covariância pode ser calculada usando o operador de produto escalar , em que cada valor da matriz de covariância é o produto escalar de duas colunas da matriz original (dividido por ) : $\\n\times p$ $\mathbf{M}$ $\\p\times p$ $\mathbf{S}$ $\mathbf{C}$ $\mathbf{M}$ $n-1$

$\mathbf{C} = { 1 \over {n-1} } \mathbf{M}^{T} \cdot \mathbf{M}$

Da mesma forma, a matriz de correlação pode ser definida por que e são colunas de e é uma medida de correlação como o coeficiente produto-momento de Pearson . Nesse caso, o operador é o coeficiente de correlação bivariado. $\mathbf{P}$ $\mathbf{P}_{ij} = \mathrm{corr}(C_i,C_j)$ $\mathbf{C}_i$ $\mathbf{C}_j$ $\mathbf{C}$ $\mathrm{corr}$

Essa transformação dependente de operador tem um nome?

correlation terminology covariance-matrix Ismael Ghalimi
fonte

Nesta resposta , descrevi como todas essas matrizes são as modificações da X'Xmatriz do SSCP . Para um interesse acadêmico adicional: Zegers, dez Berge (Psychometrica, 1985) unem os coeficientes da fórmula geral 4: coeficiente de identidade, coeficiente de aditividade (baseado no coeficiente de covariância), cosseno, correlação de Pearson.

ttnphns

Eu não recomendaria acreditar no artigo da Wikipedia sobre "Matriz Gramiana". Na verdade, "Gramian" significa coisas diferentes. Por exemplo, na literatura de análise fatorial, essa palavra é longa (desde 1930) usada como sinônimo de "matriz quadrada semidefinida positiva". Em muitas fontes, "Gram matrix" não é o mesmo que "Gramian matrix" e assim por diante.

ttnphns

Alguns sistemas de computação orientada a vetores, como APL e Mathematica , possuem generalizações internas desse tipo. Consulte reference.wolfram.com/language/ref/Inner.html, por exemplo.

whuber

Ismael: Se você precisar de um rótulo para X'Xmatriz - existem muitos sinônimos ou equivalentes, provenientes de pessoas de diferentes campos e formações. A análise de dados estatísticos multivariada é um dos ramos mais antigos. Lá é chamada matriz de soma de quadrados e produtos cruzados ou simplesmente matriz de produtos cruzados. Não recomendo muito o uso das palavras Gramian ou Gram devido às razões apontadas no meu comentário acima.

ttnphns

@ttnphns Acho que a pergunta de Ismael é mais ampla, ele quer um nome para qualquer

f (X_{i}, X_{j})

$f(X_i, X_j)$ matriz onde

f ()

$f()$ pode ser qualquer função (talvez apenas simétrica?) (e

X_{i}

$X_i$ são colunas de

X

$X$ ); por exemplo, um

p \times p

$p\times p$ matriz de informações mútuas entre variáveis ou um

p \times p

$p\times p$ matriz de covariâncias de distância entre eles, de qualquer que seja. Ismael, eu entendi corretamente? Nesse caso, acho que não há um nome geral para isso.

ameba

Respostas:

Meu entendimento da pergunta é que ela pede um nome para qualquer $p\times p$ matriz $\mathbf F$ com elementos $F_{ij} = f(\mathbf X_i, \mathbf X_j)$ , Onde $\mathbf X_k$ são colunas de um $n\times p$ Matriz de dados $\mathbf X$ e $f(\cdot, \cdot)$ é alguma função arbitrária.

Isso pode ser visto como uma generalização da matriz de covariância (se $f$ é covariância), matriz de correlação (se $f$ é a correlação), matriz de soma de quadrados e produtos cruzados (se $f$ é um produto escalar) etc.

Observe que, mesmo que $f$ é simétrica e "sensível", a matriz resultante $\mathbf F$ pode deixar de ser positivo-definido. Este é o caso, por exemplo, quando $f$ é informação mútua ( como indicado no título deste artigo ).

Duvido que exista um termo genérico para $\mathbf F$ . Se você realmente precisa ter um nome para ele, acho que deveria inventar um. Se seu $f$ deve medir alguma relação entre variáveis $i$ e $j$ , aí talvez $\mathbf F$ pode ser chamado de "matriz de relacionamento cruzado" ou simplesmente "matriz de relacionamento"?

ameba
fonte

Eu acho que você pode usar a linguagem de reprodução de espaços Hilbert do kernel e considerar

F

$\mathbf F$ ser a matriz Gram associada ao kernel

f

$f$ , forneceu

f

$f$ satisfaz as condições padrão.

cardeal

@ cardinal Eu estava pensando se eu deveria mencionar isso na minha resposta. Mas geralmente a matriz do kernel (matriz Gram) é entendida como

n \times n

$n\times n$ , ou seja, mede os "relacionamentos" (distâncias do kernel) entre as amostras, enquanto aqui o OP considera um

p \times p

$p \times p$ matriz que mede os "relacionamentos" entre as variáveis. Então, imaginei que chamá-lo de matriz kernel / Gram pode ser confuso; O que você acha? (Além disso, pode-se considerar funções que não satisfaçam as condições do kernel, por exemplo, informações aparentemente mútua.)

ameba

(+1) Embora, em certo sentido, a distinção entre "linhas" e "colunas" possa parecer um pouco superficial, acho que você levanta um ponto muito válido sobre a possível confusão que pode ser causada pela proposta no meu comentário.

cardeal

Muito obrigado por esclarecer a distinção com matrizes de Gram. Muito útil.

Ismael Ghalimi 31/03