Distribuição de um polinômio de segundo grau de uma variável aleatória gaussiana

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Gostaria de calcular

P(Y=aX2+bX+c<0)

onde . Eu posso fazer isso facilmente usando Monte Carlo. No entanto, me pediram para encontrar o pdf analítico de e depois calcularXN(0,σ)fY(y)Y

I=0fY(y)dy

Eu acho que fY(y) será tal que Eu só pode ser calculado numericamente. No entanto, como é uma integral univariada, métodos numéricos estão disponíveis para computá-lo com uma precisão muito alta. Existe uma expressão (relativamente simples) para fY(y) , para que eu possa executar a integração numérica? Ou existe outra possibilidade para computar Eu , além de Monte Carlo (que, na minha opinião, é a abordagem mais sensata)?

DeltaIV
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Você precisa primeiro encontrar o pdf de Y e depois integrá-lo na linha real negativa, ou pode usar o método indicado por mpiktas que evita encontrar o pdf de Y ?
usar o seguinte código
@DilipSarwate, obrigado pela pergunta. Fui solicitado especificamente a 1. encontrar e 2. integrar sobre . Então, uma resposta que faça exatamente isso seria ótima. Por outro lado, posso salientar que a solicitação não é razoável e que já tenho dois métodos muito bons (MC e @mpiktas) que funcionam bem. Portanto, a resposta para sua pergunta é: eu não preciso estritamente (não vou ser demitido se não o fizer), mas com certeza gostaria de poder fazê-lo (evitando assim outra discussão com o solicitante) . [ - , 0 ]fY(y)[-,0 0]
DeltaIV
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OK aqui vai. Observe que que pode ser expresso em termos do CDF gaussiano padrão usando o método descrito na resposta do @ mpkitas. Tomando a derivada wrt, fornecerá o pdf . Além disso, informe ao seu solicitante que você não precisa realmente_explicitamente_ integrar o pdf para encontrar pois cujo valor você já determinou. Φ ( ) y f Y ( y ) I I = F Y ( 0 )FY(y)=P{Yy}=P{aX2+bX+c-y0 0}Φ()yfY(y)EuEu=FY(0 0)
precisa saber é o seguinte
@DilipSarwate fantastic! Em outras palavras, e na resposta do mpkitas tornam-se funções de , e apenas aplico a regra da cadeia para derivação. Muito obrigado! x 2 yx1x2y
precisa saber é o seguinte

Respostas:

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Observe que , onde e são raízes do polinomial . Devemos assumir que e são reais e diferentes, caso contrário, a probabilidade em questão é trivialmente zero ou um.X 1 X 2 um x 2 + b x + c x 1 x 2umax2+bx+c=uma(x-x1)(x-x2)x1x2umax2+bx+cx1x2

Nós temos dois casos.

  1. P ( a X 2 + b X + c < 0 ) = P ( x 1 < X < x 2 )uma>0 0 , então .P(umaX2+bX+c<0 0)=P(x1<X<x2)

  2. P ( um X 2 + b X + c < 0 ) = P ( X < X 1X > x 2 ) = 1 - P ( x 1 < X < x 2 ) .uma<0 0 , entãoP(umaX2+bX+c<0 0)=P(X<x1X>x2)=1-P(x1<X<x2).

Como é normal, as probabilidades podem ser calculadas usando a função de distribuição cumulativa da variável normal.X

mpiktas
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excelente! E, é claro, temos expressões analíticas para e (raízes de uma equação quadrática), então tudo é muito simples. Obrigado! PS, é claro, e são sempre reais e distintos no meu caso. Eu esqueci de especificar isso. x 2 x 1 x 2x1x2x1x2
DeltaIV
Solução muito inteligente. Eu estava prestes a sugerir derivar a distribuição de mas totalmente desnecessário. Bem feito! Y
ramhiser
@ JohnA.Ramey Veja os comentários sobre a questão principal.
precisa saber é o seguinte