Estatísticas de Independência e Ordem

8

Eu tenho um problema em mãos, que não estou conseguindo prosseguir. Alguém pode me ajudar a começar?

Y1<Y2<Y3 : Uma ordem de tamanho 3 estatística de distribuição tendo pdf

f(x)=2x   0<x<1
Além disso, definir
U1=Y1Y2  and    U2=Y2Y3
A tarefa é calcular o pdf conjunto deU1 & U2.

Meu trabalho: eu descobri a marginal de U1 & U2 .

P(U1u1)=010u1y2fY1,Y2(y1,y2)dy1dy2
P(U2u2)=010u2y3fY2,Y3(y2,y3)dy2dy3
Que passo devo fazer a seguir?
Qwerty
fonte

Respostas:

10

Aqui está um guia para resolver esse problema (e outros semelhantes). Eu uso valores simulados para ilustrar, então vamos começar simulando um grande número de realizações independentes da distribuição com densidade . (Todo o código nesta resposta está escrito .)fR

n <- 4e4 # Number of trials in the simulation
x <- matrix(pmax(runif(n*3), runif(n*3)), nrow=3)

# Plot the data
par(mfrow=c(1,3))
for (i in 1:3) {
  hist(x[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  curve(f(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Histogramas de dados originais

Os histogramas mostram realizações independentes dos primeiros elementos, segundo, e terceiro conjuntos de dados. O gráfico de curvas vermelhas f . O fato de coincidirem com os histogramas confirma que a simulação está funcionando como planejado.40,000f

(Y1,Y2,Y3)

y <- apply(x, 2, sort)

# Plot the order statistics.
f <- function(x) 2*x
ff <- function(x) x^2
for (i in 1:3) {
  hist(y[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  k <- factorial(3) / (factorial(3-i)*factorial(1)*factorial(i-1))
  curve(k * (1-ff(x))^(3-i) * f(x) * ff(x)^(i-1), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Histogramas das estatísticas da ordem

40,000Y1Y3Y2

(U1,U2)

F(u1,u2)=Pr(U1u1,U2u2)=Pr(Y1u1Y2,Y2u2Y3).

Como você calculou a densidade da junta , é uma questão de rotina fazer a integral (tripla) expressa pela probabilidade à direita. A região de integração deve ser(Y1,Y2,Y3)

0Y1u1Y2, 0Y2u2Y3, 0Y31.

A simulação pode nos dar uma idéia de como são distribuídos: aqui está um gráfico de dispersão dos valores realizados de . Sua resposta teórica deve descrever essa densidade.(U1,U2)(U1,U2)

par(mfrow=c(1,1))
u <- cbind(y[1, ]/y[2, ], y[2, ]/y[3, ])
plot(u, pch=16, cex=1/2, col="#00000008", asp=1)

Gráfico de dispersão

Como verificação, podemos examinar as distribuições marginais e compará-las com as soluções teóricas. As densidades marginais, mostradas como curvas vermelhas, são obtidas como e .F(u1,1)/u1F(1,u2)/u2

par(mfrow=c(1,2))
hist(u[, 1], freq=FALSE); curve(2*x, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
hist(u[, 2], freq=FALSE); curve(4*x^3, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
par(mfrow=c(1,1))

Histogramas de U_1 e U_2

É curioso que tenha a mesma distribuição que o original .U1Xi

whuber
fonte
3

Aqui está uma solução simbólica exata que rastreia as etapas necessárias ... aqui, usando ferramentas automatizadas para fazer pequenos detalhes

Vamos denotar uma amostra do tamanho 3 do pdf pai :(X1,X2,X3)f(x)

insira a descrição da imagem aqui

Então, o pdf conjunto da amostra ordenada é :(X(1),X(2),X(3))g(x1,x2,x3)

insira a descrição da imagem aqui

onde estou usando a OrderStatfunção do pacote mathStatica para o Mathematica .

A cdf conjunta de é :(U1,U2)P(X(1)X(2)<u1,X(2)X(3)<u2)

insira a descrição da imagem aqui

O pdf conjunto de é derivado pela simples diferenciação do cdf wrt e :u 1 u 2(U1,U2)u1u2

insira a descrição da imagem aqui

Finalmente, como uma verificação rápida de Monte Carlo, aqui está uma comparação de:

  • a solução teórica exata derivada (a articulação pdf - a superfície laranja)

  • plotado contra uma junção empírica simulada de Monte Carlo pdf (histograma 3D):

insira a descrição da imagem aqui

wolfies
fonte