Relação entre poisson e distribuição exponencial

O tempo de espera para a distribuição de poisson é uma distribuição exponencial com o parâmetro lambda. Mas eu não entendo isso. Poisson modela o número de chegadas por unidade de tempo, por exemplo. Como isso está relacionado à distribuição exponencial? Digamos que a probabilidade de k chegadas em uma unidade de tempo seja P (k) (modelada por poisson) e a probabilidade de k + 1 seja P (k + 1), como a distribuição exponencial modela o tempo de espera entre elas?

Usarei a seguinte notação para ser o mais consistente possível com o wiki (no caso de você querer ir e voltar entre minha resposta e as definições do wiki para poisson e exponencial ).

$N_t$ : o número de chegadas durante o período$t$

$X_t$ : o tempo que leva para uma chegada adicional, assumindo que alguém chegou no momento$t$

Por definição, as seguintes condições são equivalentes:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

O evento à esquerda captura o evento em que ninguém chegou no intervalo de tempo que implica que nossa contagem do número de chegadas no tempo é idêntica à contagem no tempo que é o evento à direita.$[t,t+x]$$t+x$$t$

Pela regra do complemento, também temos:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

Usando a equivalência dos dois eventos que descrevemos acima, podemos reescrever os itens acima como:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Mas,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

Usando o poisson pmf acima, onde é o número médio de chegadas por unidade de tempo ex uma quantidade de unidades de tempo, simplifica para:$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

ie

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

Substituindo em nosso eqn original, temos:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

O texto acima é o cdf de um pdf exponencial.

Para um processo de Poisson, os hits ocorrem aleatoriamente independentemente do passado, mas com uma taxa média conhecida de longo prazo de hits por unidade de tempo. A distribuição de Poisson nos permitiria encontrar a probabilidade de obter um número específico de ocorrências.$\lambda$

Agora, em vez de observar o número de ocorrências, observamos a variável aleatória (para a vida útil), o tempo que você precisa aguardar pela primeira ocorrência.$L$

$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Diz-se que qualquer variável aleatória que tenha uma função de densidade assim seja distribuída exponencialmente.

As outras respostas explicam bem a matemática. Eu acho que ajuda a considerar um exemplo físico. Quando penso em um processo de Poisson, sempre volto à ideia de carros passando em uma estrada. Lambda é o número médio de carros que passam por unidade de tempo, digamos 60 / hora (lambda = 60). Sabemos, no entanto, que o número real variará - alguns dias mais, alguns dias menos. A distribuição de Poisson nos permite modelar essa variabilidade.

Agora, uma média de 60 carros por hora equivale a uma média de 1 carro passando por cada minuto. Novamente, porém, sabemos que haverá variabilidade na quantidade de tempo entre as chegadas: às vezes mais de 1 minuto; outras vezes menos. A Distribuição Exponencial nos permite modelar essa variabilidade.

Tudo o que foi dito, os carros que passam em uma estrada nem sempre seguem um Processo de Poisson. Se houver um sinal de trânsito ao virar da esquina, por exemplo, as chegadas serão agrupadas em vez de constantes. Em uma estrada aberta, um reboque de trator lento pode sustentar uma longa fila de carros, causando novamente amontoamentos. Nesses casos, a distribuição Poisson ainda pode funcionar bem por períodos mais longos, mas o exponencial falhará muito na modelagem dos horários de chegada.

Observe também que há uma enorme variabilidade com base na hora do dia: mais ocupada durante os horários de deslocamento; muito mais devagar às 3 da manhã. Verifique se o lambda reflete o período de tempo específico que você está considerando.

A distribuição de Poisson é normalmente derivada da distribuição binomial (ambas discretas). Isso você encontrará no Wiki.

No entanto, a distribuição de Poisson (discreta) também pode ser derivada da distribuição exponencial (contínua).

Adicionei a prova ao Wiki (link abaixo):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution