Uma visão de sistemas dinâmicos do Teorema do Limite Central?

(Originalmente publicado em MSE.)

Já vi muitas discussões heurísticas do teorema clássico do limite central falar da distribuição normal (ou de qualquer das distribuições estáveis) como um "atrator" no espaço das densidades de probabilidade. Por exemplo, considere estas frases no topo do tratamento da Wikipedia :

Em uso mais geral, um teorema do limite central é um de um conjunto de teoremas de convergência fraca na teoria da probabilidade. Todos eles expressam o fato de que uma soma de muitas variáveis ​​aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid) ou, alternativamente, variáveis ​​aleatórias com tipos específicos de dependência, tenderá a ser distribuída de acordo com um de um pequeno conjunto de distribuições de atratores . Quando a variância das variáveis ​​iid é finita, a distribuição de atratores é a distribuição normal.

Essa linguagem de sistemas dinâmicos é muito sugestiva. Feller também fala de "atração" em seu tratamento da CLT em seu segundo volume (eu me pergunto se essa é a fonte da linguagem), e Yuval Flimus nesta nota fala até da "bacia de atração". (Eu não acho que ele realmente queira dizer "a forma exata da bacia de atração é dedutível de antemão", mas sim "a forma exata do atrator é dedutível de antemão"; ainda assim, a linguagem está lá.) Minha pergunta é: podem estas analogias dinâmicas sejam precisas?Não conheço um livro em que eles estejam - embora muitos livros façam questão de enfatizar que a distribuição normal é especial por sua estabilidade sob convolução (assim como sua estabilidade sob a transformação de Fourier). Isso está basicamente nos dizendo que o normal é importante porque é um ponto fixo. O CLT vai além, nos dizendo que não é apenas um ponto fixo, mas um atrator.

Para tornar essa imagem geométrica precisa, imagino tomar o espaço de fase como um espaço funcional de dimensão infinita adequado (o espaço das densidades de probabilidade) e o operador de evolução a ser convolutivo repetido com uma condição inicial. Mas não tenho noção dos detalhes técnicos envolvidos em fazer essa imagem funcionar ou se vale a pena prosseguir.

Eu acho que, como não consigo encontrar um tratamento que siga essa abordagem explicitamente, deve haver algo errado no meu entendimento de que isso pode ser feito ou que seria interessante. Se for esse o caso, eu gostaria de saber o porquê.

EDIT : Existem três perguntas semelhantes em Math Stack Exchange e MathOverflow que os leitores podem estar interessados:

• Distribuições gaussianas como pontos fixos em algum espaço de distribuição (MO)
• Teorema do limite central via entropia máxima (MO)
• Existe uma prova para o teorema do limite central através de algum teorema de ponto fixo? (MSE)

Depois de pesquisar na literatura, incentivado pela resposta de Kjetil, encontrei algumas referências que levam a sério a abordagem de sistemas geométricos / dinâmicos ao CLT, além do livro de Y. Sinai. Estou publicando o que encontrei para outras pessoas que possam estar interessadas, mas espero ainda ouvir um especialista sobre o valor desse ponto de vista.

A influência mais significativa parece ter vindo do trabalho de Charles Stein. Mas a resposta mais direta à minha pergunta parece ser de Hamedani e Walter, que colocam uma métrica no espaço das funções de distribuição e mostram que a convolução gera uma contração, que produz a distribuição normal como o ponto fixo único.

• M. Anshelevich, A linearização do operador de limite central na teoria da probabilidade livre , arXiv: math / 9810047v2.
• LHY Chen, L. Goldstein e Q. Shao, aproximação normal pelo método de Stein , Springer, 2011.
• JA Goldstein, provas teóricas do Semigrupo do teorema do limite central e outros teoremas de análise , Semigroup Forum 12 (1976), n. 3, 189-206.
• GG Hamedani e GG Walter, um teorema do ponto fixo e sua aplicação ao teorema do limite central , Arch. Matemática. 43 (1984), n. 3, 258-264.
• S. Swaminathan, provas teóricas de ponto fixo do teorema do limite central, em Teoria e aplicações de ponto fixo (Marseille, 1989), Pitman Res. Notas Matemática. Ser. Vol. 252, Longman Sei. Tech., Harlow, 1991, pp. 391–396. Citado em Karl Stromberg, Probabilidade para analistas, página 114 .

ADICIONADO 19 de outubro de 2018.

Outra fonte para esse ponto de vista é a Probabilidade e os processos estocásticos de Oliver Knill, com aplicações , p. 11 (ênfase adicionada):

$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$$S^{*}_n$$n$$X_i$$1$$0$$P$ $\mathcal{L}^1$. Isso funciona em outras situações também. Para variáveis ​​aleatórias com valor de círculo, por exemplo, a distribuição uniforme maximiza a entropia. Não é de surpreender, portanto, que exista um teorema do limite central para variáveis ​​aleatórias de valor circular com a distribuição uniforme como a distribuição limitadora.

O texto "Teoria da Probabilidade, Curso Introdutório", de Y Sinai (Springer), discute a CLT dessa maneira.

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

A ideia é (de memória ...) que

$A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$