Por que o erro de reconstrução do SVD truncado é igual à soma dos valores ao quadrado?

7

Eu vi essa fórmula em um livro: a norma Frobenius ao quadrado da matriz original menos seu SVD truncado (que pode ser visto como o erro de aproximação) é igual à soma dos valores singulares ao quadrado.XXk

insira a descrição da imagem aqui

Por que é que? Como provar isso?

user93892
fonte

Respostas:

7

Deixe ser o SVD do matriz . Deixeser qualquer norma da matriz que é direita e esquerda invariante sob transformações ortogonais (reflexões e as rotações); isto é, sempre que é uma matriz ortogonal ou é uma matriz ortogonal , então

X=UΣV
n×rX||||Pn×nQr×r

||PXQ||=||X||.

Então, pela própria definição de SVD , a ortogonalidade de e implicaUV

||U(XA)V||2=||ΣUAV||2.

Como é formulado para tornar uma matriz diagonal que concorda com as primeiras entradas da matriz diagonal , o lado direito é apenas a norma quadrática de depois que essas entradas diagonais foram zeradas.AUAVkΣΣk

Para a norma Frobenius (cujo quadrado é a soma das entradas quadradas de seu argumento), a norma quadrada dessa cópia zerada de é a soma dos quadrados de suas entradas restantes, precisamenteΣ

||ΣUAV||2=j=k+1rδj2.

Mas a norma de Frobenius obviamente é invariável sob multiplicação à esquerda e à direita por matrizes ortogonais, uma vez que ortogonalidade por definição significa preservação da norma euclidiana e da norma Frobenius (quando quadrada) é ambos (a) a soma das normas euclidianas quadradas das linhas (e, portanto, é invariável sob multiplicação à esquerda, que preserva cada norma de linha) e (b) a soma das normas euclidianas quadradas das colunas (e, portanto, é invariante sob multiplicação à direita, que preserva cada norma de coluna).

whuber
fonte