Transformada de Fourier de distribuições

Quais distribuições são suas próprias transformadas de Fourier além da distribuição normal e da distribuição generalizada do arco-seno ?

Suponha que a transformada de Fourier de seja onde onde . A transformação inversa é $x(t)$$X(f)$

$$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$$ $i = \sqrt{-1}$ $$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$$

Algumas propriedades da transformação de Fourier são as seguintes:

• A transformada de Fourier de é$X(t)$$x(-f)$

• Se é uma função par com valor real de , então é uma função par com valor real de .$x(t)$$t$$X(f)$$f$

Assim, se é uma função par com valor real de , então a transformada de Fourier da função par com valor real é$x(t)$$t$$X(t)$$x(f)$

Agora, suponha que seja uma função de densidade de probabilidade uniforme (de modo que para todos os ) com a propriedade adicional de que . Suponha também que sua transformação de Fourier possua a propriedade que para todos os . Então, como é uma função com valor real, mesmo não negativa, de com a área , que é, também é uma função de densidade de probabilidade com a propriedade de que$x(t)$$x(t) \geq 0$$t$$x(0) = 1$$X(f)$$X(f) \geq 0$$f$

$$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$$ $X(f)$$f$$1$$X(f)$$X(0) = 1$. Um exemplo desse par de funções é a distribuição normal citada por OP Neil G e outro exemplo é $$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$$ $$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$$

Agora observe que é uma densidade de mistura cuja transformação de Fourier é que é a mesma densidade da mistura.$\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$$\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

Assim, se é uma função de densidade cuja transformada de Fourier é uma função de densidade, então a função de densidade da mistura é a sua própria transformação de Fourier.$x(t)$$X(f)$$\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

Finalmente, dadas duas densidades que são suas próprias transformadas de Fourier, por exemplo, e , qualquer densidade da mistura que é uma função de densidade que é sua própria transformação de Fourier.$x_1(t)$$\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

$$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$$ $\alpha \in [0,1]$