Transformada de Fourier de distribuições

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Quais distribuições são suas próprias transformadas de Fourier além da distribuição normal e da distribuição generalizada do arco-seno ?

Neil G
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Respostas:

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Suponha que a transformada de Fourier de seja onde onde . A transformação inversa é x(t)X(f)

X(f)=x(t)exp(i2πft)dt
i=1
x(t)=X(f)exp(i2πft)df

Algumas propriedades da transformação de Fourier são as seguintes:

  • A transformada de Fourier de éX(t)x(f)

  • Se é uma função par com valor real de , então é uma função par com valor real de .x(t)tX(f)f

Assim, se é uma função par com valor real de , então a transformada de Fourier da função par com valor real éx(t)tX(t)x(f)

Agora, suponha que seja uma função de densidade de probabilidade uniforme (de modo que para todos os ) com a propriedade adicional de que . Suponha também que sua transformação de Fourier possua a propriedade que para todos os . Então, como é uma função com valor real, mesmo não negativa, de com a área , que é, também é uma função de densidade de probabilidade com a propriedade de quex(t)x(t)0tx(0)=1X(f)X(f)0f

x(0)=1=X(f)df
X(f)f1X(f)X(0)=1. Um exemplo desse par de funções é a distribuição normal citada por OP Neil G e outro exemplo é
x1(t)=exp(πt2),  X1(f)=exp(πf2)
x2(t)=(1|t|)1[1,1],  X2(f)=sinc2(f)={(sin(πf)πf)2,f0,1,f=0.

Agora observe que é uma densidade de mistura cuja transformação de Fourier é que é a mesma densidade da mistura.12x2(t)+12X2(t)12X2(f)+12x2(f)

Assim, se é uma função de densidade cuja transformada de Fourier é uma função de densidade, então a função de densidade da mistura é a sua própria transformação de Fourier.x(t)X(f)12x(t)+12X(t)

Finalmente, dadas duas densidades que são suas próprias transformadas de Fourier, por exemplo, e , qualquer densidade da mistura que é uma função de densidade que é sua própria transformação de Fourier.x1(t)12x2(t)+12X2(t)

αx1(t)+(1α)[12x2(t)+12X2(t)]
α[0,1]
Dilip Sarwate
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(+1) Isso é bastante inteligente. Deve-se notar que, para garantir um par de transformações válido, precisamos de uma condição de integrabilidade em . Nomeadamente, garantirá que a inversão declarada recupere a densidade apropriada. Em certo sentido, você emprega essa condição posteriormente. (Eu já assumiu a restrição de não negatividade em foi imposta, por isso não precisa de módulo.)X(f)X(f)df<X(f)
cardeal