Qual é a diferença entre imparcialidade assintótica e consistência?

Cada um implica o outro? Se não, um implica o outro? Porque porque não?

Esse problema surgiu em resposta a um comentário em uma resposta que eu publiquei aqui .

Embora a busca no Google pelos termos relevantes não tenha produzido algo que pareça particularmente útil, notei uma resposta na troca de pilha matemática. No entanto, achei que essa pergunta também era apropriada para este site.

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Em relação à resposta math.stackexchange, eu estava buscando algo mais aprofundado, abordando alguns dos problemas tratados no tópico de comentários @whuber linked . Além disso, a meu ver, a pergunta math.stackexchange mostra que a consistência não implica imparcialidade assintoticamente, mas não explica muita coisa sobre o porquê. O OP também pressupõe que a imparcialidade assintótica não implica consistência e, portanto, o único respondente até agora não aborda por que isso ocorre.

$\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Intuitivamente, discordo: "imparcialidade" é um termo que aprendemos primeiro em relação a uma distribuição (amostra finita). Parece mais natural considerar "imparcialidade assintótica" em relação a uma distribuição assintótica . E, de fato, é isso que Lehmann & Casella em "Theory of Point Estimation (1998, 2ª ed) fazem, p. 438 Definição 2.1 (notação simplificada):

$$\text{If} \;\;\;k_n(\hat \theta_n - \theta )\to_d H$$

para alguma sequência e para alguma variável aleatória , o estimador é assintoticamente imparcial se o valor esperado de for zero.$k_n$$H$$\hat \theta_n$$H$

Dada essa definição, podemos argumentar que a consistência implica imparcialidade assintótica, pois

... e a distribuição degenerada igual a zero tem um valor esperado igual a zero (aqui a sequência é uma sequência de uns). $k_n$

Mas suspeito que isso não seja realmente útil, é apenas um subproduto de uma definição de imparcialidade assintótica que permite variáveis ​​aleatórias degeneradas. Essencialmente, gostaríamos de saber se, se tivéssemos uma expressão envolvendo o estimador que converge para um RV não degenerado, a consistência ainda implicaria imparcialidade assintótica.

No início do livro (p. 431 Definição 1.2), os autores chamam a propriedade como " imparcialidade no limite ", e isso não acontece. coincidem com a imparcialidade assintótica.$\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

A imparcialidade no limite é suficiente (mas não necessário) para consistência sob a condição adicional de que a sequência de variações do estimador chegue a zero (implicando que a variação existe em primeiro lugar).

Para conhecer os meandros relacionados à concistência com variação diferente de zero (um pouco incompreensível), visite este post .