O que realmente significa a condição estrita de exogeneidade do OLS?

Na Econometria de Hayashi, afirma-se que uma das suposições do OLS clássico é: E eu sei que as implicações são que para todos os , e que o termo do erro não está correlacionado com os regressores.

$$\mathbb{E}(\epsilon_i\lvert\mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \ldots, \mathbf{x_n}) = 0 \text{, for } i=1, \ldots, n. \tag{1}$$ $\mathbb{E}(\epsilon_i) = 0$$i = 1, \ldots,n$

Mas, o que a equação (1) em si realmente significa? Um exemplo pedagógico seria útil.

Em inglês, isso significa que, dependendo da observação dos dados, a expectativa do termo de erro é zero.

Como isso pode ser violado?

Exemplo: variável omitida correlacionada com$x$

Imagine que o verdadeiro modelo é:

$$y_i = \alpha + \beta x_i + \gamma z_i + u_i$$

Mas imagine que estamos executando a regressão:

$$y_i = \alpha + \beta x_i + \underbrace{\epsilon_i}_{\gamma z_i + u_i}$$

Então:

$$\begin{align*} E[\epsilon_i \mid x_i ] &= E[\gamma z_i + u_i \mid x_i] \\ &=\gamma E[ z_i\mid x_i] \quad \text{ assuming $u_i$ is white noise} \end{align*}$$

Se e , então e uma exogeneidade estrita é violada.$E[z_i \mid x_i] \neq 0$$\gamma \neq 0$$E[\epsilon_i \mid x_i] \neq 0$

Por exemplo, imagine que é salário, é um indicador de um diploma universitário e é uma medida de capacidade. Se os salários são uma função da educação e da capacidade (o verdadeiro processo de geração de dados é a primeira equação), e espera-se que os graduados tenham maior capacidade ( ) porque a faculdade tende a atrair e admitir alunos com habilidades mais altas, se alguém fizesse uma regressão simples dos salários na educação, a estrita suposição de exogeneidade seria violada. Temos uma variável clássica de confusão . A habilidade causa educação, e a habilidade afeta os salários; portanto, nossa expectativa de erro na equação (2), dada a educação, não é zero.$y$$x$$z$$E[z_i \mid x_i] \neq 0]$

O que aconteceria se executássemos a regressão? Você capturaria o efeito educacional e o efeito habilidade no coeficiente educacional. Neste exemplo linear simples, o coeficiente estimado captaria o efeito de em mais a associação de e vezes o efeito de em .$b$$x$$y$ $x$$z$$z$$y$