Testando hipóteses. Por que centralizar a distribuição da amostra em H0?

Um valor-p é a probabilidade de obter uma estatística que seja pelo menos tão extrema quanto a observada nos dados da amostra ao assumir que a hipótese nula ( ) é verdadeira. $H_0$

Graficamente, isso corresponde à área definida pela estatística da amostra sob a distribuição amostral que se obteria ao assumir : $H_0$

No entanto, como a forma dessa distribuição assumida é realmente baseada nos dados da amostra, centralizá-la em parece uma escolha estranha para mim. Se alguém usasse a distribuição amostral da estatística, ou seja, centralize a distribuição na estatística da amostra, o teste de hipóteses corresponderia à estimativa da probabilidade de dadas as amostras. $\mu_0$
$\mu_0$

Nesse caso, o valor p é a probabilidade de obter uma estatística pelo menos tão extrema quanto dados os dados em vez da definição acima. $\mu_0$

Além disso, essa interpretação tem a vantagem de se relacionar bem com o conceito de intervalos de confiança:
um teste de hipótese com nível de significância seria equivalente a verificar se enquadra no intervalo de confiança da distribuição da amostra. $\alpha$ $\mu_0$ $(1-\alpha)$

Portanto, sinto que centralizar a distribuição em pode ser uma complicação desnecessária. Existem justificativas importantes para esta etapa que eu não considerei? $\mu_0$

hypothesis-testing confidence-interval p-value matti
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Por favor, diga-nos qual será a distribuição de amostragem se você não assumir . (Resposta: você não pode, exceto nos exemplos de livros didáticos em que a hipótese alternativa especifica uma distribuição exclusiva.)

H_{0}

$H_0$

whuber

Não tenho certeza se entendi a solicitação corretamente, mas no exemplo acima, seria a distribuição amostral da média. Agora adicionei uma figura à pergunta que mostra essa distribuição, juntamente com um intervalo / área de confiança de 95%, que também deve ajudar a ilustrar a relação com os intervalos de confiança.

Matti

Você não tem como saber a distribuição amostral da média. Para saber isso, você precisa saber o verdadeiro significado: mas essa é precisamente a quantidade que você está tentando testar! Sua lógica é completamente circular.

whuber

Eu entendi que esse era o seu significado. Em geral, até que você conheça - ou assuma - os verdadeiros parâmetros da distribuição, não poderá conhecer a distribuição de nenhuma propriedade da amostra. (Na verdade, se você pode deduzir a distribuição de quaisquer bens amostra sem assumir conhecimento dos parâmetros, isso seria prova de que ele não lhe dá nenhuma informação sobre os parâmetros!)

whuber

Não posso, porque parece que você não está usando termos como "médio", "estimado" ou mesmo "H0" em seus sentidos estatísticos usuais. Estou completamente perdido para entender qual é a sua pergunta. A única coisa que fica clara é que se baseia em um mal-entendido de teste de hipótese nula, mas suas respostas aos meus comentários não forneceram nenhuma indicação útil sobre o que esse mal-entendido pode ser.

whuber

Respostas:

Suponha que é uma amostra retirada de uma distribuição normal com média desconhecida e variação conhecida . A média da amostra é, portanto, normal com média e variância . Sobre isso, acho que não há possibilidade de discordância. $\boldsymbol X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mu$ $\sigma^2$ $\bar X$ $\mu$ $\sigma^2/n$

Agora, você propõe que nossa estatística de teste seja Direita? Mas isso não é estatístico . Por quê? Porque é um parâmetro desconhecido . Uma estatística é uma função da amostra que não depende de nenhum parâmetro desconhecido. Portanto, uma suposição deve ser feita sobre para que seja uma estatística. Uma dessas suposições é escrever sob o qual que é uma estatística.

Z = \frac{\bar{X} - μ}{σ / \sqrt{n}} \sim Normal (0, 1) .

$Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \operatorname{Normal}(0,1).$

μ

$\mu$

μ

$\mu$

Z

$Z$

H_{0} : μ = μ_{0}, vs. H_{1} : μ \neq μ_{0},

$H_0 : \mu = \mu_0, \quad \text{vs.} \quad H_1 : \mu \ne \mu_0,$

Z ∣ H_{0} = \frac{\bar{X} - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}} \sim Normal (0, 1),

$Z \mid H_0 = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \operatorname{Normal}(0,1),$

Por outro lado, você propõe usar si. Nesse caso, identicamente, e nem é uma variável aleatória, muito menos distribuída normalmente. Não há nada para testar. $\mu = \bar X$ $Z = 0$

heropup
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Obrigado. Isso é muito direto e agora eu realmente me pergunto como eu poderia ter perdido isso antes. Tudo o que restaria agora como desculpa para o segundo caso apresentado é confiar no cálculo do intervalo de confiança. No entanto, como a margem de erro é explicitamente adicionada / subtraída da estimativa de média ou ponto, o uso dessa estimativa se torna uma etapa que precisaria ser justificada.

matti

No entanto, como o formato dessa distribuição assumida é realmente baseado nos dados da amostra, centralizá-lo em H0 parece uma escolha estranha para mim.

Na verdade, isso não é verdade. A forma dessa distribuição assumida vem da aceitação de como verdadeira. $H_0$ ~~A amostra não está diretamente envolvida nisso, exceto por algumas suposições.~~Usar a amostra diretamente, não é suficiente. Você também precisa da hipótese nula para manter.

Se alguém usasse a distribuição amostral da estatística, ou seja, centralize a distribuição na estatística da amostra, o teste de hipótese corresponderia à estimativa da probabilidade de H0, dadas as amostras.

A questão é: como você estima uma probabilidade de algo que você supõe ser verdadeiro. No nosso caso, se você considerar como verdadeiro, é inútil tentar estimar a probabilidade de ser verdadeiro. $H_0$ $H_0$

Portanto, sinto que centralizar a distribuição em H0 é uma complicação desnecessária.

Você não tem duas distribuições lá, existe apenas uma, a que se supõe ser a sua verdade básica, também conhecida como a que vem com . No entanto, existe uma distribuição de amostragem derivada da amostra, mas isso não está envolvido nas hipóteses que você usa. $H_0$

Um bom exercício seria tentar replicar a mesma lógica com uma distribuição assimétrica. Faça a distribuição do qui-quadrado como no teste de independência do qui-quadrado. Você é capaz de reproduzi-lo? Eu acho que a resposta é não.

rapaio
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" Na verdade, isso não é verdade. O formato dessa distribuição assumida vem da aceitação de H0 como verdadeira. A amostra não está diretamente envolvida nisso, exceto por algumas suposições. " Mas, no caso do teste t de uma amostra apresentado acima, o a estatística de teste inclui o SEM e a média da amostra e, portanto, depende dos dados da amostra. Além disso, os graus de liberdade que determinam a altura das caudas dependem do tamanho da amostra.

t = \frac{\bar{x} - μ_{0}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}

$t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\frac{s}{{\sqrt{n}}}}$

matti

Minha formulação foi enganosa. Eu estava tentando dizer que você pode usar qualquer informação que você tenha, também a própria amostra, mas não é suficiente. Para avaliar os valores de p e ter uma distribuição, é necessário assumir também a hipótese nula. Eu reformulo no post também.

rapaio 24/06

... Tome por exemplo a sua fórmula de , ele usa que eu suponho que o valor da hipótese nula

t

$t$

μ_{0}

$\mu_0$

H_{0} : μ = μ_{0}

$H_0 : \mu = \mu_0$

rapaio

Pelo que entendi, você está argumentando que faz mais sentido 'inverter' e . $H_0$ $H_1$

Acho útil pensar no teste de hipóteses como uma prova por contradição. Assumimos que é verdadeiro e mostramos que as evidências indicam que essa suposição é falha, justificando assim a rejeição de em favor de . $H_0$ $H_0$ $H_1$

Isso funciona porque quando assumimos e centralizamos nossa distribuição lá, podemos determinar quão provável / improvável é nossa observação. Por exemplo, se vs. e determinamos a partir de nossos testes que há menos de 5% de chance de que a verdadeira média realmente seja igual a 0, podemos rejeitar com 95 % de confiança. $H_0$ $H_0: \mu = 0$ $H_1: \mu \neq 0$ $\mu$ $H_0$

O contrário não é necessariamente verdadeiro. Digamos que façamos um experimento e determinemos que na verdade existe uma chance de 30% de que a hipótese nula ainda seja válida. Não podemos rejeitar o nulo, mas também não o aceitamos . Essa situação não mostra que (o nulo) é verdadeiro, mas que não temos evidências para mostrar que é falso. $H_0$

Agora imagine se revirássemos essa situação. Digamos que e descubra que, considerando nossos resultados, a probabilidade de é de 5% ou menos, o que isso significa? Claro que podemos rejeitar o nulo, podemos necessariamente aceitar ? É difícil justificar aceitar a coisa que assumimos como verdadeira no começo. $H_1$ $H_0$ $H_1$

Mostrar que é falso não é o resultado que buscamos; queremos argumentar a favor do . Ao fazer o teste da maneira que você descreve, estamos mostrando que não temos evidências para dizer que é falso, o que é sutilmente diferente de argumentar que é verdadeiro. $H_0$ $H_1$ $H_1$ $H_1$

Bryan Goggin
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Como o teste de hipóteses não nos permite eliminar completamente a incerteza, não a consideraria uma prova . Talvez eu não tenha esclarecido meu argumento o suficiente, mas estou essencialmente pedindo uma razão lógica e não semântica para mudar a distribuição de amostragem para .

H_{0}

$H_0$

matti

E, em geral, o H1 é bastante vago (mu! = 0), tornando os cálculos de probabilidade problemáticos. Embora eu suponha que isso geralmente seja um bom incentivo para as pessoas ficarem bayesianas. :)

Hao Ye