Como está o

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Estou tentando entender o χ2-distribuição. A Wikipedia possui o seguinte gráfico para a função de densidade de probabilidade:

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Este gráfico mostra que, para k=1, o PDF será ... infinito? O modo doχ2-distribuição é definida como max{k2,0}, tão f1(0)=?

Em outros gráficos na Web, parecia que ele foi mais alto do que 1. Como aqui:

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Obviamente, a função de distribuição cumulativa se aproxima1 para todos os graus de liberdade:

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Eu não entendo por que a função de distribuição de probabilidade se comporta dessa maneira 0 para qualquer k. Como está oχ2-distribuição definida em torno de 0?

CamilB
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Você já olhou a fórmula para sua densidade? Isso responde imediata e completamente à sua pergunta.
whuber
Sinto que o que você realmente está perguntando é se faz sentido que o CDF seja delimitado em 1, quando o PDF chega ao infinito em zero. É isso?
Antoni Parellada
@AntoniParellada: o que estou perguntando é mais: como é reconciliado que o PDF para k=1 é tão alto quando se aproxima de 0, com o fato de que o CDF é (e deve ser) limitado em 1. Parece que a integração do PDF renderia algo muito mais alto do que1.
CamilB 12/07/19
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Parece que você precisa ler stats.stackexchange.com/questions/4220/… .
whuber
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O seu sentimento de que a área sob o pdf seria maior que 1 devido ao modo como aumenta à medida que se aproxima da origem não é incomum (considerando um gráfico da densidade para 0<x<0.1digamos), mas é uma impressão equivocada. Observe que, comox0 a densidade fica muito perto de cx (sempre abaixo dele para a escolha certa de c) No entanto, a maioria das pessoas consideraria o inverso desse limite superiorc2y2 vs y para y>1.2digamos) - sem se preocupar com a explosão na área (e por boas razões - isso não acontece). Percepções pode ser enganado por um flip eixo simples
Glen_b -Reinstate Monica

Respostas:

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O pdf de um χ2 distribuição é f(x;k)=12k2Γ(k/2)xk/21exp(x/2).

Então, só precisamos avaliar a expressão para f(0;k).

f(0;1)=
f(0;2)=0.5
f(0;3)=0
E assim por diante. O código R para isso é dchisq(0,k)positivo k. É realmente interessante apenas parak=2 Porque f(0;k) é infinito para 0<k<2 e 0 para k>2.
Sycorax diz restabelecer Monica
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Muito obrigado por sugerir R, tentarei traçar a função para ter uma idéia melhor.
CamilB
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Alguém poderia argumentar que não é especialmente interessante em x=0 para qualquer valor df diferente de 2, pois ele sempre vai para o infinito como x0 (para k<2) ou é 0 (para k>2)
Glen_b -Reinstar Monica
@Glen_b Esse é realmente um ponto muito bom: o único valor interessante de f(0;k) é 2exatamente.
Sycorax diz Restabelecer Monica
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Vamos tentar voltar à definição dessa distribuição e ver o que acontece em torno de 0.

Por definição, o χ2 distribuição é a da soma dos quadrados das variáveis ​​aleatórias normais independentes:

Y=i=1kZi2,
(veja a página da wikipedia ). Vemos facilmente que o valor da densidade é0 para k3 e .5 para k=2. Parak=1, o caso é um pouco diferente.

Vamos considerar exatamente esse caso para resolver sua pergunta: por uma mudança de variável, temos y=g(z)=z2 de tal modo que:

fY(y)=|ddy(g1(y))|fZ(g1(y))=|ddy(y)|fZ(y)=12y12πexp(y/2)

Entendemos um fato básico, o χ1 não está definido em 0 porque a operação quadrática nesse ponto é plana g(0)=0 e assim que g1(0) não está definido (infinito).

meduz
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Como mostra a matemática, o fato de que a densidade é indefinida em 0segue de dois fatos. Não basta queg(0)=0. Além disso, você precisa dissofZ(0)0.
whuber