Lei da regra da expecação total / torre: Por que as duas variáveis ​​aleatórias devem ter o mesmo espaço de probabilidade?

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Cito (ênfase minha) da definição da Wikipedia :

A proposição na teoria da probabilidade conhecida como lei da expectativa total, ..., afirma que se X é uma variável aleatória integrável (isto é, uma variável aleatória que satisfaz E (| X |) <∞) e Y é qualquer variável aleatória, não necessariamente integrável, no mesmo espaço de probabilidade , então

E(X)=E(E(XY))

Não entendo o que eles significam com o mesmo espaço de probabilidade e não sei por que essa é uma parte importante da definição. Veja o exemplo mais abaixo na página:

Suponha que duas fábricas forneçam lâmpadas ao mercado. As lâmpadas da fábrica X funcionam por uma média de 5000 horas, enquanto as lâmpadas da fábrica Y funcionam por uma média de 4000 horas. Sabe-se que a fábrica X fornece 60% do total de lâmpadas disponíveis. Qual é o período de tempo esperado para o funcionamento de uma lâmpada comprada?

As variáveis ​​aleatórias aqui parecem ser:

  1. A quantidade de tempo que uma lâmpada dura.
  2. De que fábrica é originária a lâmpada.

Como esses dois podem ter o mesmo espaço de probabilidade?

Alex
fonte
2
Como você entende se as variáveis ​​aleatórias são definidas em diferentes espaços de probabilidade? E(X|Y)
whuber
Não sei, desconfio intuitivamente? Dado aqui, eu sei e , não vejo o que há para entender? E ( T | F = Y ) = 4000E(T|F=X)=5000E(T|F=Y)=4000
Alex4
Talvez essa pergunta realmente se encaixe na matemática. A troca de pilhas muda mais, pois é de natureza um pouco teórica da probabilidade?
precisa saber é o seguinte

Respostas:

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Eu não entendo o que eles querem dizer com o mesmo espaço de probabilidade

Esse é o problema.

A maneira padrão de pensar nos objetos da teoria das probabilidades (variáveis ​​aleatórias, distribuições etc.) é através dos axiomas de Kolmogorov . Esses axiomas estão enquadrados na linguagem da teoria da medida , mas é bem possível entender casos simples sem qualquer teoria da medida.

Basicamente, um modelo de probabilidade consiste em três coisas: um conjunto , cujos elementos individuais você pode considerar como resumindo o "verdadeiro estado do mundo" (ou pelo menos tudo o que você precisa saber sobre ele); uma coleção de subconjuntos de (cujos elementos são os eventos possíveis cuja probabilidade você pode precisar medir); e uma medida de probabilidade , que é uma função que pega um evento e cospe um número (cuja interpretação é a probabilidade de o evento ocorrer). O triplo é conhecido como espaço de probabilidadeF Ω P E F P ( E ) [ 0 , 1 ] E ( Ω , F , P )ΩFΩPEFP(E)[0,1]E(Ω,F,P) desde que satisfaça certas propriedades naturais (por exemplo, a probabilidade de uma união de muitos eventos disjuntos é a soma de suas probabilidades).

Nesta estrutura, uma variável aleatória é uma função de a . No seu exemplo, temos duas variáveis ​​aleatórias: (a quantidade de tempo que uma lâmpada dura) e (de onde vem a lâmpada).Ω R T FXΩRTF

Como esses dois podem ter o mesmo espaço de probabilidade?

(Ω,F,P)T,F:ΩRΩ={(f,t):f=0,1,t>0}(f,t)ΩftT(f,t)=tF(f,t)=f(T,F)FP

Eu não entendo ... por que essa é uma parte importante da definição

E[XY]XYXY

Ben
fonte
Pela sua resposta, parece que no caso ingênuo e contável de funções de massa de probabilidade etc ', o requisito de que ambas as variáveis ​​sejam do mesmo espaço de probabilidade é realmente desnecessário. A definição que você fez de um espaço de probabilidade em que os eventos são realmente pares de quantidades parece bastante forçada nesse caso.
precisa saber é o seguinte