Por que existe um valor R ^ 2 (e o que está determinando) quando lm não tem variação no valor previsto?

Considere o seguinte código R:

example <- function(n) {
    X <- 1:n
    Y <- rep(1,n)
    return(lm(Y~X))
}
#(2.13.0, i386-pc-mingw32)
summary(example(7))    #R^2 = .1963
summary(example(62))   #R^2 = .4529
summary(example(4540)) #R^2 = .7832
summary(example(104))) #R^2 = 0
#I did a search for n 6:10000, the result for R^2 is NaN for
#n = 2, 4, 16, 64, 256, 1024, 2085 (not a typo), 4096, 6175 (not a typo), and 8340 (not a typo)

Ver http://svn.r-project.org/R/trunk/src/appl/dqrls.f ) não me ajudou a entender o que está acontecendo, porque não conheço o Fortran. Em outra pergunta , foi respondido que os erros de tolerância da máquina de ponto flutuante são os responsáveis ​​pelos coeficientes de X que estão próximos, mas não exatamente de 0.

$R^2$ é maior quando o valor de coef(example(n))["X"]for mais próximo de 0. Mas ...

1. Por que existe um valor ? $R^2$
2. O que (especificamente) está determinando isso?
3. Por que a progressão aparentemente ordenada dos NaNresultados?
4. Por que as violações dessa progressão?
5. O que é esse comportamento "esperado"?

Como Ben Bolker diz, a resposta para esta pergunta pode ser encontrada no código para summary.lm().

Aqui está o cabeçalho:

function (object, correlation = FALSE, symbolic.cor = FALSE, 
    ...) 
{

Então, vamos x <- 1:1000; y <- rep(1,1000); z <- lm(y ~ x)dar uma olhada neste extrato ligeiramente modificado:

    p <- z$rank
    rdf <- z$df.residual
    Qr <- stats:::qr.lm(z)
    n <- NROW(Qr$qr)
    r <- z$residuals
    f <- z$fitted.values
    w <- z$weights
    if (is.null(w)) {
        mss <- sum((f - mean(f))^2)
        rss <- sum(r^2)
    }
    ans <- z[c("call", "terms")]
    if (p != attr(z$terms, "intercept")) {
        df.int <- 1L
        ans$r.squared <- mss/(mss + rss)
        ans$adj.r.squared <- 1 - (1 - ans$r.squared) * ((n - 
            df.int)/rdf)
    }

$0.4998923$

Para responder a uma pergunta com uma pergunta: o que extraímos disso? :)

mssrss$R^2$mssrss0/0NaN2^(1:k)

Atualização 1: Aqui está um bom tópico da R-help, abordando alguns dos motivos pelos quais avisos de fluxo insuficiente não são abordados em R.

Além disso, essas perguntas e respostas da SO têm várias postagens interessantes e links úteis sobre subfluxo, aritmética de alta precisão, etc.

Estou curioso sobre sua motivação para fazer a pergunta. Não consigo pensar em uma razão prática para esse comportamento ter importância; a curiosidade intelectual é uma razão alternativa (e IMO muito mais sensível). Acho que você não precisa entender o FORTRAN para responder a essa pergunta, mas acho que precisa saber sobre a decomposição do QR e seu uso na regressão linear. Se você tratar dqrlscomo uma caixa preta que calcula uma decomposição QR e retorna várias informações sobre ela, poderá rastrear as etapas ... ou simplesmente ir direto summary.lme rastrear para ver como o R ^ 2 é calculado. Em particular:

mss <- if (attr(z$terms, "intercept")) 
          sum((f - mean(f))^2)
       else sum(f^2)
rss <- sum(r^2)
## ... stuff ...
ans$r.squared <- mss/(mss + rss)

Então você deve voltar lm.fite verificar que os valores ajustados são calculados como r1 <- y - z$residuals(ou seja, como a resposta menos os resíduos). Agora você pode descobrir o que determina o valor dos resíduos e se o valor menos sua média é exatamente zero ou não, e daí descobrir os resultados computacionais ...

$R^2$$R^2 = 1-\frac{\textrm{SS}_{err}}{\textrm{SS}_{tot}}$