Distribuição da forma quadrática de normais

Estou tentando descobrir a distribuição de onde , eu sei que, considerando cada um dos termos separadamente, e Mas não tenho certeza sobre a distribuição de (*)

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

\frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} \sim χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution Zailei Chen
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Bem vindo ao nosso site! Esta é uma pergunta de um curso ou livro? Em caso afirmativo, adicione a [self-study]tag e leia seu wiki . Caso contrário, seria interessante saber em que contexto esse problema surgiu. Obrigado por nos mostrar o que você tem feito e onde você está preso

Silverfish

@ Silverfish Não, isso é apenas algo que estou tentando descobrir. Eu destilei o problema até essa pergunta simples; meu problema original é um pouco mais complicado, receio! Então, tentei apenas pedir a parte em que realmente preciso de ajuda. Mas, se isto parece um problema livro, eu estaria muito interessado em saber de onde texto, esperando que fornece a informação relevante :)

Zailei Chen

Isso parece sensato! Além disso, obrigado por usar a composição de látex, nós sempre apreciar o esforço

Silverfish

Respostas:

Aqui está uma tentativa :

Considere forma que e com $Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

Não tenho certeza se ele pode ser reduzido a um MGF que pode ser fatal.

direitos
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Alguma discussão sobre uma situação um pouco mais geral aparece em stats.stackexchange.com/questions/72479 , com uma referência a um artigo que oferece uma aproximação.

whuber