Portanto, temos média aritmética (AM), média geométrica (GM) e média harmônica (HM). Sua formulação matemática também é bem conhecida, juntamente com seus exemplos estereotipados associados (por exemplo, média harmônica e sua aplicação a problemas relacionados à "velocidade").
No entanto, uma pergunta que sempre me intrigou é "como decido qual meio é o mais apropriado para usar em um determinado contexto?" Deve haver pelo menos alguma regra prática para ajudar a entender a aplicabilidade e, no entanto, a resposta mais comum que me deparei é: "Depende" (mas de quê?).
Pode parecer uma pergunta bastante trivial, mas mesmo os textos do ensino médio não conseguiram explicar isso - eles apenas fornecem definições matemáticas!
Eu prefiro uma explicação em inglês do que uma matemática - um teste simples seria "sua mãe / criança entenderia?"
Respostas:
Esta resposta pode ter uma inclinação um pouco mais matemática do que você estava procurando.
O importante a reconhecer é que todos esses meios são simplesmente o meio aritmético disfarçado .
A característica importante na identificação de qual (se houver algum!) Dos três meios comuns (aritmético, geométrico ou harmônico) é o meio "correto" é encontrar a "estrutura aditiva" na questão em questão.
Em outras palavras, suponha que recebamos algumas quantidades abstratas , que chamarei de "medições", abusando um pouco desse termo abaixo por uma questão de consistência. Cada um desses três meios pode ser obtido (1) transformando cada em algum , (2) tomando a média aritmética e depois (3) voltando à escala original de medição.x i y ix1 1, x2, … , Xn xEu yEu
Média aritmética : Obviamente, usamos a transformação "identidade": . Portanto, as etapas (1) e (3) são triviais (nada é feito) e .ˉ x A H = ˉ yyEu= xEu x¯A M= y¯
Média geométrica : aqui a estrutura aditiva está nos logaritmos das observações originais. Então, pegamos e, em seguida, para obter o GM na etapa (3), convertemos de volta pela função inversa do , ou seja, . log ˉ x G M = exp ( ˉ y )yEu= logxEu registro x¯G M= exp( y¯)
Média harmônica : aqui a estrutura aditiva está nos recíprocos de nossas observações. Portanto, , de onde .ˉ x H M = 1 / ˉ yyEu= 1 / xEu x¯H M= 1 / y¯
Em problemas físicos, eles geralmente surgem pelo seguinte processo: Temos uma quantidade que permanece fixa em relação às nossas medidas e algumas outras quantidades, como . Agora, jogamos o seguinte jogo: Mantenha e constantes e tente encontrar alguns modo que, se substituirmos cada uma de nossas observações individuais por , o relacionamento "total" ainda será conservado .x 1 , … , x n z 1W x1 1, … , Xn w z 1 + ⋯ + z n ˉ x x i ˉ xz1 1, … , Zn w z1+⋯+zn x¯ xi x¯
O exemplo distância-velocidade-tempo parece popular, então vamos usá-lo.
Distância constante, tempos variados
Considere uma distância fixa percorrida . Agora, suponha que percorremos essa distância vezes diferentes nas velocidades , levando o tempo . Agora jogamos nosso jogo. Suponha que desejássemos substituir nossas velocidades individuais por alguma velocidade fixa modo que o tempo total permanecesse constante. Observe que temos modo que . Queremos que esse relacionamento total (tempo total e distância total percorrida) seja conservado quando substituímos cada um dos por em nosso jogo. Portanto, n v 1 , … , v n t 1 , … , t n ˉ v d - v i t i = 0d n v1,…,vn t1,…,tn v¯
Observe que a "estrutura aditiva" aqui é relativa aos tempos individuais e nossas medidas são inversamente relacionadas a eles, portanto, a média harmônica se aplica.
Distâncias variáveis, tempo constante
Aqui a estrutura aditiva que estamos tentando manter é proporcional às medidas que temos, portanto a média aritmética se aplica.
Cubo de volume igual
Suponha que tenhamos construído uma caixa dimensional com um determinado volume e nossas medidas sejam os comprimentos laterais da caixa. Então e suponha que desejássemos construir um cubo (hiper) dimensional com o mesmo volume. Ou seja, queremos substituir nossos comprimentos laterais individuais por um comprimento lateral comum . Entãon V n x
Isso indica facilmente que devemos usar .x¯=(xi⋯xn)1/n=x¯GM
Observe que a estrutura aditiva está nos logaritmos, ou seja, e estamos tentando conservar a quantidade à esquerda.logV=∑ilogxi
Novos meios do antigo
Como exercício, pense no significado do "natural" na situação em que você deixa as distâncias e os tempos variarem no primeiro exemplo. Ou seja, temos distâncias , velocidades e tempos . Queremos conservar a distância total e o tempo percorrido e encontrar uma constante para conseguir isso.v i t i ˉ vdi vi ti v¯
Exercício : Qual é o significado "natural" nesta situação?
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Expandindo o excelente comentário de @Brandon (que eu acho que deveria ser promovido para responder):
A média geométrica deve ser usada quando você estiver interessado em diferenças multiplicativas. Brandon observa que a média geométrica deve ser usada quando os intervalos forem diferentes. Isso geralmente está correto. O motivo é que queremos igualar os intervalos. Por exemplo, suponha que os candidatos à faculdade sejam classificados com pontuação no SAT (0 a 800), média de notas no HS (0 a 4) e atividades extracurriculares (1 a 10). Se uma faculdade quisesse calcular a média e equalizar os intervalos (ou seja, o aumento de peso em cada qualidade em relação ao intervalo), a média geométrica seria o caminho a percorrer.
Mas isso nem sempre é verdade quando temos escalas com intervalos diferentes. Se estivéssemos comparando renda em diferentes países (incluindo países pobres e ricos), provavelmente não desejaríamos a média geométrica, mas a média aritmética (ou, mais provavelmente, a mediana ou talvez uma média aparada).
O único uso que eu vi para média harmônica é o de comparar taxas. Como exemplo: se você dirige de Nova York a Boston a 40 MPH e retorna a 60 MPH, sua média geral não é a média aritmética de 50 MPH, mas a média harmônica.
AM = HM =2 / ( 1 / 40 + 1 / 60 ) = 48(40+60)/2=50 2/(1/40+1/60)=48
para verificar se isso está correto neste exemplo simples, imagine que estão a 160 quilômetros de Nova York a Boston. Em seguida, o percurso leva 3 horas, o percurso para casa leva 2 horas, o total é 5 horas e a distância é de 240 milhas.240/5=48
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Vou tentar resumir de três a quatro regras gerais e fornecer mais alguns exemplos dos meios pitagóricos.
A relação entre as três médias é HM <GM <AM para dados não negativos com alguma variação . Eles serão iguais se e somente se não houver variação nos dados da amostra.
Para dados em níveis, use o AM. Os preços são um bom exemplo. Para proporções, use o GM. Retornos de investimentos, preços relativos como o índice Bloomberg Billy (o preço da estante Billy da Ikea em vários países em comparação com o preço dos EUA) e o índice de desenvolvimento humano da ONU são exemplos. HM é apropriado quando se lida com taxas. Aqui está um exemplo não automotivo, cortesia de David Giles :
David também discute a versão ponderada dos três meios, que aparecem nos índices de preços usados para medir a inflação.
Um seqüestrador de lado:
Esses ROTs não são perfeitos. Por exemplo, muitas vezes acho difícil descobrir se algo é uma taxa ou uma proporção. Os retornos de um investimento são geralmente tratados como uma razão no cálculo das médias, mas também são uma taxa, pois são geralmente denominados em "x% por unidade de tempo". "Usar HM quando os dados estão em níveis por unidade de tempo" seria uma heurística melhor?
Se você quisesse resumir o Big Mac Index para os países do norte da Europa, usaria o GM?
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Uma possível resposta para sua pergunta ("como eu decido qual média é a mais apropriada para usar em um determinado contexto?") É a definição de média, dada pelo matemático italiano Oscar Chisini .
Aqui está um artigo com uma explicação mais detalhada e alguns exemplos (velocidade média de viagem e outros).
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Eu acho que uma maneira simples de responder à pergunta seria:
Média harmônica = 2ab / (a + b) = a (b / a + b) + b (a / (a + b)
Por exemplo: a média dos custos em dólares se enquadra nessa categoria porque a quantidade de dinheiro que você está investindo (A) permanece fixa, mas o preço por ação (P) e o número de ações (N) variam (A = PN). De fato, se você pensa em uma média aritmética como um número igualmente centralizado entre dois números, a média harmônica também é um número igualmente centralizado entre dois números, mas (e isso é legal) o "centro" é onde as porcentagens (proporções) são igual. Ou seja: (x - a) / a = (b -x) / b, onde x é a média harmônica.
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$x$
\frac{a}{b}