Se eu tiver o valor esperado do logaritmo de um RV, posso obter o valor esperado do próprio RV?

Suponha que seja fornecido. Posso derivar em um formato de formulário fechado? $\text{E}[\log(X)]$ $\text{E}[X]$

expected-value logarithm Theoden
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Você conhece a distribuição do log x ou x? Por exemplo. é normalmente distribuído? No caso mais geral com seguindo alguma distribuição arbitrária, você não poderá dizer muito.

x

$x$

x

$x$

Matthew Gunn

Não. Somente o valor médio do log (x) é fornecido.

Theoden

Tudo o que você pode dizer é que devido à desigualdade de Jensen .

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$

Matthew Gunn

Respostas:

Não.

Por exemplo, se segue uma distribuição normal de log, onde , então e é independente de . No entanto, sua média é . Claramente, você não pode derivar uma número dependente de um número independente. $X$ $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ $E[\log(x)] = \mu$ $\sigma$ $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ $\sigma$ $\sigma$

jwimberley
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Faz sentido. Preciso de mais informações então.

Theoden

Ou, para um exemplo super simples, considere variáveis aleatórias discretas X (considerando o valor 1 com probabilidade 1/3 e 10 com probabilidade 2/3) e Y (considerando o valor 1 com probabilidade 2/3 e 100 com probabilidade 1/3) . Então E [log X] = E [log Y] = 1/3 (ou algum outro número, se você preferir que seus logaritmos sejam levados a uma base mais sensata que 10, mas ainda igual, já que em qualquer log de base 100 = 2 log 10). No entanto, E [X]! = E [Y].

21816 Steve Jessop