Algum exemplo de (aproximadamente) variáveis ​​independentes que são dependentes de valores extremos?

Eu estou procurando um exemplo de 2 variáveis ​​aleatórias $X$ , $Y$ tais que

mas quando consideramos a parte final das distribuições, elas são altamente correlacionadas. (Eu tento evitar 'correlacionado' / 'correlação' para a cauda porque ela pode não ser linear).

Provavelmente use isso:

onde $X'$ é condicional em $X > 90\%$ da população de $X$ e $Y'$ é definido no mesmo sentido.

Aqui está um exemplo em que e têm marginais normais.$X$$Y$

Deixei:

Condicional em , deixe se ou , caso contrário, para alguma constante .Y = X | X | > ϕ Y = - X $X$$Y = X$$|X| > \phi$$Y = -X$$\phi$

Você pode mostrar que, independentemente de , temos marginalmente:$\phi$

Existe um valor de tal que . Se então .$\phi$$\text{cor}(X,Y) = 0$$\phi = 1.54$$\text{cor}(X,Y)\approx 0$

No entanto, e não são independentes e os valores extremos de ambos são perfeitamente dependentes. Veja a simulação em R abaixo e o gráfico a seguir.$X$$Y$

Nsim <- 10000
set.seed(123)

x <- rnorm(Nsim)
y <- ifelse(abs(x)>1.54,x,-x)

print(cor(x,y)) # 0.00284 \approx 0

plot(x,y)

extreme.x <- which(abs(x)>qnorm(0.95))
extreme.y <- which(abs(y)>qnorm(0.95))
extreme.both <- intersect(extreme.x,extreme.y)

print(cor(x[extreme.both],y[extreme.both])) # Exactly 1