Por que o estimador OLS do coeficiente AR (1) é enviesado?

Estou tentando entender por que o OLS fornece um estimador tendencioso de um processo AR (1). Considere Nesse modelo, a exogeneidade estrita é violada, ou seja, e estão correlacionados, mas e não são correlacionados. Mas se isso for verdade, por que a derivação simples a seguir não se aplica? ytεtyt-1εtPlim

$$\begin{aligned} y_{t} &= \alpha + \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}, \\ \epsilon_{t} &\stackrel{iid}{\sim} N(0,1). \end{aligned}$$ $y_t$$\epsilon_t$$y_{t-1}$$\epsilon_t$ $$\begin{aligned} \text{plim} \ \hat{\beta} &= \frac{\text{Cov}(y_{t},y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\frac{\text{Cov}(\alpha + \beta y_{t-1}+\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &= \beta+ \frac{\text{Cov}(\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\beta. \end{aligned}$$

Como discutido essencialmente nos comentários, a imparcialidade é uma propriedade de amostra finita e, se mantida, seria expressa como

$$E (\hat \beta ) = \beta$$

(onde o valor esperado é o primeiro momento da distribuição de amostra finita)

enquanto consistência é uma propriedade assintótica expressa como

$$\text{plim} \hat \beta = \beta$$

O OP mostra que, embora o OLS nesse contexto seja tendencioso, ele ainda é consistente.

$$E (\hat \beta ) \neq \beta\;\;\; \text{but}\;\;\; \text{plim} \hat \beta = \beta$$

Aqui não há contradição.

@Alecos explica bem por que uma plim correta e imparcial não são as mesmas. Quanto à razão subjacente pela qual o estimador não é imparcial, lembre-se de que a imparcialidade de um estimador exige que todos os termos de erro sejam médios independentemente de todos os valores do regressor, .$E(\epsilon|X)=0$

No presente caso, a matriz regressora consiste nos valores , de modo que - veja o comentário de mpiktas - a condição se traduz em para todos .$y_1,\ldots,y_{T-1}$$E(\epsilon_s|y_1,\ldots,y_{T-1})=0$$s=2,\ldots,T$

Aqui temos

$$\begin{equation*} y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}, \end{equation*}$$ Mesmo sob a suposição , temos que Mas também é um regressor para valores futuros em um modelo AR, como .$E(\epsilon_{t}y_{t-1})=0$ $$\begin{equation*} E(\epsilon_ty_{t})=E(\epsilon_t(\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}))=E(\epsilon _{t}^{2})\neq 0. \end{equation*}$$ $y_t$$y_{t+1}=\beta y_{t}+\epsilon_{t+1}$

Expandindo em duas boas respostas. Anote o estimador OLS:

$$\hat\beta =\beta + \frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}$$

Para imparcialidade precisamos

$$E\left[\frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}\right]=0.$$

Mas para isso precisamos que para cada . Para o modelo AR (1), isso claramente falha, pois está relacionado aos valores futuros .$E(\varepsilon_t|y_{1},...,y_{T-1})=0,$$t$$\varepsilon_t$$y_{t},y_{t+1},...,y_{T}$