O núcleo do cosseno pode ser entendido como um caso de distribuição Beta?

Conforme observado por Wand e Jones (1995), a maioria dos kernels padrão pode ser vista como um caso de

K (x; p) = {2^{2 p + 1} B (p + 1, p + 1)}^{- 1} (1 - x^{2})^{p} 1_{{| x | < 1}}

$K(x;p) = \{ 2^{2p+1} \; \mathrm{B}(p+1,p+1) \}^{-1} \; (1-x^2)^p \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

família, onde $\mathrm{B}(\cdot,\cdot)$ é uma função Beta. Diferentes valores de $p$ levam a núcleos retangulares ( $p=0$ ), Epanechnikov ( $p=1$ ), bi-peso ( $p=2$ ) e tri-peso ( $p=3$ ).

Pode cosseno do núcleo (como entendido na densityfunção de R ),

\frac{1}{2} (1 + \cos (π x)) 1_{{| x | < 1}}

$\frac{1}{2} (1 + \cos(\pi x)) \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

também ser pensado como um membro desta família? Em caso afirmativo, qual é o valor apropriado de $p$ para ele? Depois de fazer algumas simulações, acho que $\approx 2.35$ está bem próximo, mas (como) posso encontrar o correto sem simulação? Caso contrário, ele pode ser aproximado usando a distribuição beta?

Wand, MP e Jones, MC (1995). Suavização do Kernel. Chapman e Hall, Londres.

distributions kernel-smoothing beta-distribution Tim
fonte

A função beta com argumentos inteiros é apenas uma proporção de fatoriais, mas para argumentos não inteiros, duvido que isso simplificaria qualquer coisa útil; e certamente é apenas um número, dependendo de modo que não há como obter uma função cosseno a partir dessa expressão.

p

$p$

Ameba 21/10

@amoeba ainda, pode ser aproximado? E a segunda pergunta é: como eles encontraram os valores para os outros kernels?

Tim

@ Tim, o que você quer dizer com "como eles encontraram"? Apenas ligando?

Christoph Hanck 21/10

@amoeba, você não precisa de todo o cosseno, apenas a curva entre . Como sabemos, é uma soma infinita de polinômios (expansão de Taylor em torno de zero).

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

Firebug

@ChristophHanck certo, isso era óbvio, retiro essa pergunta :) De alguma forma, comecei a pensar sobre isso em termos de distribuição Beta, em vez de focar diretamente nela.

Tim

Respostas:

O núcleo do cosseno não é uma distribuição beta.

Observe que as seguintes coisas são verdadeiras para a densidade de cosseno padrão:

$f(0)=1$
$f(0.5)=0.5$
A metade direita dessa densidade é rotacionalmente simétrica em torno de : (isto é, considerando as outras duas propriedades que implica ) $x=\frac12$ $1-f(x)=f(1-x)$

Mas nenhuma densidade beta em (-1,1) terá todas essas propriedades juntas.

A densidade simétrica do kernel beta pode ser escrita como:

$g(x;a)= \frac{(1-x^2)^{a-1}}{\text{B}(a,a)2^{2a-1}}\,,\:-1<x<1\,,\:a>0$

Por exemplo, a primeira condição implica um de cerca de ( ). O segundo implica um de 1 ( ). $a$ $3.38175$ $p=2.38175$ $a$ $p=0$

No entanto, os valores de próximo que a escolha de (3,38175) dá densidades realmente muito perto do cosseno. $a$ $a$

[Isso é bem próximo do seu (já que ); uma faixa de valores nessa região fornece densidades semelhantes ao cosseno.] $p=2.35$ $p=a-1$

O menor desvio absoluto na densidade ocorre para - não que a minimização dos desvios absolutos torne as propriedades mais parecidas. $p\approx 2.3575$

Aqui está o cosseno e a beta (com ): $p=2.3575$

Mesmo que não sejam iguais, têm uma forma muito parecida.

Glen_b -Reinstate Monica
fonte

Só queria dizer obrigado. É interessante aprender que, embora seja impossível obter uma correspondência exata, podemos chegar tão perto por aproximação.

Tim

O valor de deve surpreender, porque uma série de Taylor de terceira ordem aproximada ao cosseno sugere .

3.38 \dots

$3.38\ldots$

a = π^{2} / 4 + 1 = 3.46 \dots

$a=\pi^2/4+1=3.46\ldots$

whuber