Suponha que eu tenha seja iid e deseje fazer um teste de hipótese que μ seja 0. Suponha que eu tenha n grande e possa usar o Teorema do Limite Central. Eu também poderia fazer um teste que μ 2 é 0, o que deve ser equivalente a testar que μ é 0. Além disso, n ( ˉ X 2 - 0 ) converge para um qui-quadrado, onde √converge para um normal. Como ˉ X 2tem uma taxa de convergência mais rápida, não devo usá-lo para a estatística de teste e, portanto, obterá uma taxa de convergência mais rápida e o teste será mais eficiente?
Sei que essa lógica está errada, mas tenho pensado e pesquisado há muito tempo e não consigo descobrir o porquê.
Respostas:
Ambos os testes que você descreve são equivalentes.
então eles são equivalentes a
If the data aren't known to be Normal then you can use the central limit theorem and the above will be true asymptotically. You claim thatX¯2 will converge to a chi-squared variable "faster" than X¯ will converge to a normal one. This is true in the sense that as n tends to infinity,
but that is not the whole story. We are performing a likelihood ratio test, or at least an approximate one. the ratio will come out the same whether we perform a chi-squared or a normal test. (Recall that the square of a normal random variable follows a chi-squared distribution.) If the sample meanX¯ sai no 95º percentil da distribuição normal ou t relevante, então a soma dos quadrados será igual ao 95º percentil do χ2 distribuição (que não é o mesmo número, mas isso não importa).
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