Por que as alterações naturais do log são percentuais? O que há nos logs que fazem isso acontecer?

Alguém pode explicar como as propriedades dos logs o fazem para que você possa fazer regressões lineares de log em que os coeficientes são interpretados como alterações percentuais?

Para e próximos um do outro, a porcentagem de alteração aproxima da diferença de .$x_2$$x_1$$\frac{x_2-x_1}{x_1}$$\log x_2 - \log x_1$

Por que a alteração percentual aproxima a diferença do log?

Uma idéia do cálculo é que você pode aproximar uma função suave com uma linha. A aproximação linear é simplesmente os dois primeiros termos de uma série de Taylor . A primeira ordem de expansão de Taylor de $\log(x)$ torno de $x=1$ é dada por:

$$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$$ O lado direito simplifica para$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$ portanto: $$\log(x) \approx x-1$$

Portanto, para na vizinhança de 1, podemos aproximar com a linha Abaixo está um gráfico de e .$x$$\log(x)$$y = x - 1$$y = \log(x)$$y = x - 1$

Exemplo: .$\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

Agora considere duas variáveis e tais que . Então a diferença do log é aproximadamente a alteração percentual :$x_2$$x_1$$\frac{x_2}{x_1} \approx 1$$\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

$$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$$

A variação percentual é uma aproximação linear da diferença de log!

Por que registrar diferenças?

Muitas vezes, quando você pensa em termos de alterações percentuais compostas, o conceito matematicamente mais limpo é pensar em termos de diferenças de log. Quando você multiplica repetidamente termos juntos, geralmente é mais conveniente trabalhar em logs e, em vez disso, adicionar termos.

Digamos que nossa riqueza no momento seja dada por: Então pode ser mais conveniente escrever: onde .$T$

$$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$$ $$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$$ $r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

Onde estão as alterações percentuais e a diferença de log NÃO é a mesma?

Para grandes mudanças percentuais, a diferença de log não é a mesma que a mudança percentual, porque a aproximação da curva com a linha piora e piora à medida que você obtém . Por exemplo:$y = \log(x)$$y = x - 1$$x=1$

$$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$$

Qual é a diferença de log nesse caso?

Uma maneira de pensar sobre isso é que uma diferença nos logs de 0,47 é equivalente a uma acumulação de 47 diferenças diferentes de 0,01 log, o que representa aproximadamente 47 1% de alterações, todas compostas juntas.

$$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$$

Então exponencie ambos os lados para obter:

$$1.6 \approx 1.01 ^{47}$$

Uma diferença logarítmica de 0,47 é aproximadamente equivalente a 47 aumentos diferentes de 1% compostos, ou melhor ainda, 470 aumentos diferentes de 1%, todos os compostos etc ...

Várias das respostas aqui tornam essa ideia mais explícita.

Aqui está uma versão para manequins ...

Temos o modelo - uma simples linha reta através da nuvem de dados - e sabemos que uma vez que estimar os coeficientes, um aumento do valor antes de vai resultam em um aumento de no valor de , de , como . Mas as unidades podem realmente não ter sentido em valores absolutos.$Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$$1\text{-unit}$$X=x_1$$\hat \beta_1$$Y$$Y=y_1$$\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

Assim, podemos mudar o modelo para (novos coeficientes). Agora, para o mesmo aumento de unidade em , temos uma alteração$\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$$\hat\delta_1$

$$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$$

Para ver as implicações para a mudança na porcentagem, podemos exponenciar :$(*)$

$$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ é a alteração relativa e de , a alteração percentual.$(**)$$\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

A chave para responder à pergunta é ver que para pequenos valores de , o que equivale ao mesmo uso dos dois primeiros termos da expansão de Taylor que Matthew usou, mas desta vez o ( série Maclaurin ) foi avaliado em zero porque estamos trabalhando com expoentes, em oposição aos logaritmos:$\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$$\hat\delta_1$$e^x$

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

ou com como a variável :$\delta_1$$x$

$$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$$

so torno de zero (avaliamos a expansão polinomial em zero quando fizemos a série de Taylor). Visualmente,$\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

Digamos que você tenha um modelo Obtenha uma derivada de um log:

$$\ln y = A+B x$$ $$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$$

Agora você pode ver que a inclinação agora é uma inclinação da mudança relativa de : $b$$y$

$$\frac{dy}{y}=B dx$$

Se você não tivesse a transformação de log, obteria uma inclinação da mudança absoluta de : $y$

$$dy=B dx$$

Não substituí por para enfatizar que isso funciona para pequenas alterações.$dx,dy$$\Delta x,\Delta y$

Existem muitas explicações excelentes nas respostas presentes, mas aqui está outra, estruturada em termos de análise financeira da provisão de juros sobre um investimento inicial. Suponha que você tenha um valor inicial de uma unidade que acumule juros à taxa (nominal) por ano , com os juros "compostos" ao longo de períodos no ano. No final de um ano, o valor desse investimento inicial de uma unidade é:$r$ $n$

$$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$$

Quanto mais vezes esse juro é "composto", mais dinheiro você obtém no seu investimento inicial (já que a composição significa que você está obtendo interesse pelo seu interesse). Tomando o limite como , obtemos "juros compostos continuamente", o que fornece:$n \rightarrow \infty$

$$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$$

Tomar logaritmos de ambos os lados fornece , o que significa que o logaritmo da razão entre o investimento final e o investimento inicial é a taxa de juros continuamente composta. A partir desse resultado, vemos que as diferenças logarítmicas nos resultados das séries temporais podem ser interpretadas como taxas de mudança continuamente compostas . (Essa interpretação também é justificada pela resposta de aksakal , mas o presente trabalho fornece uma outra maneira de analisá- la.)$r = \ln I(\infty)$

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