Prove que não diminui para variáveis ​​aleatórias não negativas

Respostas:

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Escreva no lugar de para enfatizar que pode ser qualquer número real positivo, em vez de apenas um número inteiro, como sugerido por " ".pnn

Vamos passar por algumas transformações preliminares padrão para simplificar os cálculos subsequentes. Não faz diferença para o resultado a rescale . O resultado é trivial se for quase zero em todos os lugares, então suponha que seja diferente de zero, de onde também é diferente de zero para todos os . Agora corrija e divida por para que sem perda de generalidade.XXE(X)E(Xp)ppXE(Xp)1/p

(1)E(Xp)=1,

Veja como o raciocínio pode prosseguir quando você tenta descobrir pela primeira vez e tenta não trabalhar muito. Deixarei justificativas detalhadas de cada etapa para você.

A expressão está diminuindo se e somente se seu logaritmo não está diminuindo. Esse log é diferenciável e, portanto, não diminui se e somente se sua derivada for não-negativa. Explorando podemos calcular (diferenciando dentro da expectativa) esse derivado como ( 1 )E(Xp)1/p(1)

ddplog(E(Xp)1/p)=1p2logE(Xp)+E(XplogX)E(Xp)=1pE(Xplog(Xp)).

Escrevendo , o lado direito não é negativo se e somente se Mas isso é uma consequência imediata da desigualdade de Jensen aplicada à função (contínuo nos reais não negativos e diferenciável nos reais positivos), porque a diferenciação duas vezes mostra para , em que é uma função convexa nos reais não negativos, produzindoE ( Y log ( Y ) ) 0. f ( y ) = y log ( y ) f ( y ) = 1Y=Xp

E(Ylog(Y))0.
f(y)=ylog(y)y>0f
f(y)=1y>0
y>0f

E(YlogY)=E(f(Y))f(E(Y))=f(1)=0,

QED .


Editar

Edward Nelson fornece uma demonstração maravilhosamente sucinta. Por uma questão de notação (padrão), defina para (e ). Ao observar que a função é convexa, ele aplica a desigualdade de Jensen para concluir||x||p=E(|x|p)1/p1<p<||x||=sup|x|f(x)=|x|p

|E(x)|pE(|x|p).

Aqui está o resto da demonstração em suas próprias palavras:

Aplicado aisso fornece e aplicado a , onde , isso fornece modo que é uma função crescente de para .|x|

||x||1||x||p,
|x|r1r<
||x||r||x||rp,
||x||pp1p

Referência

Edward Nelson, teoria das probabilidades radicalmente elementares. Princeton University Press (1987): p. 5)

whuber
fonte
Você poderia me explicar como é que você calcular a derivada delog(E(Xp)1p)
Dhamnekar Winod
Eu usei a regra do produto, porqueEu diferenciei o segundo fator no produto diferenciando-o sob o signo integral.
log(E(Xp)1/p)=1p logE(Xp).
whuber
Como você chegou a Você escreveu que divide X porE ( X p ) 1E(Xp)=1E(Xp)1p
Dhamnekar Winod
Por que você não multiplicou o segundo termo na derivada de por1log(E(Xp)(1p)1p
Dhamnekar Winod 10/11/16
Eu fiz: cancelou outro fator de . Mas isso importa para o resultado? Afinal, precisamos apenas conhecer o sinal da derivada. p
whuber