Para uma variável aleatória não negativa , como provar que está diminuindo em ?
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Para uma variável aleatória não negativa , como provar que está diminuindo em ?
Escreva no lugar de para enfatizar que pode ser qualquer número real positivo, em vez de apenas um número inteiro, como sugerido por " ".
Vamos passar por algumas transformações preliminares padrão para simplificar os cálculos subsequentes. Não faz diferença para o resultado a rescale . O resultado é trivial se for quase zero em todos os lugares, então suponha que seja diferente de zero, de onde também é diferente de zero para todos os . Agora corrija e divida por para que sem perda de generalidade.
Veja como o raciocínio pode prosseguir quando você tenta descobrir pela primeira vez e tenta não trabalhar muito. Deixarei justificativas detalhadas de cada etapa para você.
A expressão está diminuindo se e somente se seu logaritmo não está diminuindo. Esse log é diferenciável e, portanto, não diminui se e somente se sua derivada for não-negativa. Explorando podemos calcular (diferenciando dentro da expectativa) esse derivado como ( 1 )
Escrevendo , o lado direito não é negativo se e somente se Mas isso é uma consequência imediata da desigualdade de Jensen aplicada à função (contínuo nos reais não negativos e diferenciável nos reais positivos), porque a diferenciação duas vezes mostra para , em que é uma função convexa nos reais não negativos, produzindoE ( Y log ( Y ) ) ≥ 0. f ( y ) = y log ( y ) f ′ ′ ( y ) = 1
QED .
Edward Nelson fornece uma demonstração maravilhosamente sucinta. Por uma questão de notação (padrão), defina para (e ). Ao observar que a função é convexa, ele aplica a desigualdade de Jensen para concluir
Aqui está o resto da demonstração em suas próprias palavras:
Aplicado aisso fornece e aplicado a , onde , isso fornece modo que é uma função crescente de para .
Edward Nelson, teoria das probabilidades radicalmente elementares. Princeton University Press (1987): p. 5)