A teoria por trás do argumento de pesos em R ao usar lm ()

Depois de um ano na pós-graduação, meu entendimento de "mínimos quadrados ponderados" é o seguinte: seja , seja algumas \ n p vezes matriz de design \ boldsymbol \ beta \ in \ mathbb {R} ^ p seja um vetor de parâmetro, \ boldsymbol \ epsilon \ in \ mathbb {R} ^ n seja um vetor de erro tal que \ boldsymbol \ epsilon \ sim \ mathcal {N} (\ mathbf {0}, \ sigma ^ 2 \ mathbf {V}) , onde \ mathbf {V} = \ text {diag} (v_1, v_2, \ pontos, v_n) e \ sigma ^ 2> 0 . Em seguida, o modelo \ mathbf {y} = \ mathbf {X} \ boldsymbol \ beta + \ boldsymbol \ epsilon$\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{X}$$n \times p$$\boldsymbol\beta \in \mathbb{R}^p$$\boldsymbol\epsilon \in \mathbb{R}^n$$\boldsymbol\epsilon \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{V})$$\mathbf{V} = \text{diag}(v_1, v_2, \dots, v_n)$$\sigma^2 > 0$

$$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\epsilon$$ sob as premissas é chamado de modelo "mínimos quadrados ponderados". O problema do WLS acaba sendo encontrar $$\begin{equation} \arg\min_{\boldsymbol \beta}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)^{T}\mathbf{V}^{-1}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)\text{.} \end{equation}$$ Suponha que $\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 & \dots & y_n\end{bmatrix}^{T}$ , $\boldsymbol\beta = \begin{bmatrix} \beta_1 & \dots & \beta_p\end{bmatrix}^{T}$ e $$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_{11} & \cdots & x_{1p} \\ x_{21} & \cdots & x_{2p} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{n1} & \cdots & x_{np} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1}^{T} \\ \mathbf{x}_{2}^{T} \\ \vdots \\ \mathbf{x}_{n}^{T} \end{bmatrix}\text{.}$$ $\mathbf{x}_i^{T}\boldsymbol\beta\in \mathbb{R}^1$ , então $$\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta = \begin{bmatrix} y_1-\mathbf{x}_{1}^{T}\boldsymbol\beta \\ y_2-\mathbf{x}_{2}^{T}\boldsymbol\beta \\ \vdots \\ y_n-\mathbf{x}_{n}^{T}\boldsymbol\beta \end{bmatrix}\text{.}$$ Isso fornece $$\begin{align} (\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta)^{T}\mathbf{V}^{-1} &= \begin{bmatrix} y_1-\mathbf{x}_{1}^{T}\boldsymbol\beta &y_2-\mathbf{x}_{2}^{T}\boldsymbol\beta & \cdots & y_n-\mathbf{x}_{n}^{T}\boldsymbol\beta \end{bmatrix}\text{diag}(v_1^{-1}, v_2^{-1}, \dots, v_n^{-1}) \\ &= \begin{bmatrix} v_1^{-1}(y_1-\mathbf{x}_{1}^{T}\boldsymbol\beta) &v_2^{-1}(y_2-\mathbf{x}_{2}^{T}\boldsymbol\beta) & \cdots & v_n^{-1}(y_n-\mathbf{x}_{n}^{T}\boldsymbol\beta) \end{bmatrix} \end{align}$$ v_n ^ {- 1} (y_n- \ mathbf {x} _ {n} ^ {T} \ boldsymbol \ beta) \ final {bmatrix} \ final {align} dando assim $$\begin{equation} \arg\min_{\boldsymbol \beta}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)^{T}\mathbf{V}^{-1}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right) \end{equation} = \arg\min_{\boldsymbol \beta}\sum_{i=1}^{n}v_i^{-1}(y_i-\mathbf{x}^{T}_i\boldsymbol\beta)^2\text{.}$$ $\boldsymbol\beta$ é estimado usando $$\hat{\boldsymbol\beta} = (\mathbf{X}^{T}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{T}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{y}\text{.}$$ Essa é a extensão do conhecimento que estou familiarizado. Nunca fui ensinado como $v_1, v_2, \dots, v_n$ devem ser escolhidos, embora pareça que, a julgar por aqui , isso geralmente $\text{Var}(\boldsymbol\epsilon) = \text{diag}(\sigma^2_1, \sigma^2_2, \dots, \sigma^2_n)$, o que faz sentido intuitivo. (Dê pesos altamente variáveis ​​menos peso ao problema WLS e dê observações com menos variabilidade e mais peso.)

O que me interessa particularmente é como Rlida com pesos na lm()função quando pesos são designados como números inteiros. De usar ?lm:

Não NULLpesos podem ser usados ​​para indicar que observações diferentes têm variações diferentes (com os valores em pesos sendo inversamente proporcionais às variações); ou equivalentemente, quando os elementos dos pesos são inteiros positivos , que cada resposta é a média de observações de peso unitário (incluindo o caso em que existem observações iguais a e os dados foram resumidos).$w_i$$y_i$$w_i$$w_i$$y_i$

Reli este parágrafo várias vezes e não faz sentido para mim. Usando a estrutura que desenvolvi acima, suponha que possua os seguintes valores simulados:

x <- c(0, 1, 2)
y <- c(0.25, 0.75, 0.85)
weights <- c(50, 85, 75)

lm(y~x, weights = weights)

Call:
lm(formula = y ~ x, weights = weights)

Coefficients:
(Intercept)            x  
     0.3495       0.2834  

Usando a estrutura que desenvolvi acima, como esses parâmetros são derivados? Aqui está minha tentativa de fazer isso manualmente: assumindo que , temos e fazendo isso no give (observe que a invertibilidade não funciona neste caso, então eu usei uma inversa generalizada):$\mathbf{V} = \text{diag}(50, 85, 75)$

$$\begin{align}&\begin{bmatrix} \hat\beta_0 \\ \hat\beta_1 \end{bmatrix} = \\ &\left(\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\text{diag}(1/50, 1/85, 1/75)\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{T} \right)^{-1}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{T}\text{diag}(1/50, 1/85, 1/75)\begin{bmatrix} 0.25 \\ 0.75 \\ 0.85 \end{bmatrix} \end{align}$$ R

X <- matrix(rep(1, times = 6), byrow = T, nrow = 3, ncol = 2)
V_inv <- diag(c(1/50, 1/85, 1/75))
y <- c(0.25, 0.75, 0.85)

library(MASS)
ginv(t(X) %*% V_inv %*% X) %*% t(X) %*% V_inv %*% y

         [,1]
[1,] 0.278913
[2,] 0.278913

Estes não correspondem aos valores da lm()saída. O que estou fazendo de errado?

A matriz deve ser não Além disso, você deve ser , não .$X$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix},$$ $$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$$ V_invdiag(weights)diag(1/weights)

x <- c(0, 1, 2)
y <- c(0.25, 0.75, 0.85)
weights <- c(50, 85, 75)
X <- cbind(1, x)

> solve(t(X) %*% diag(weights) %*% X, t(X) %*% diag(weights) %*% y)
       [,1]
  0.3495122
x 0.2834146

Para responder de maneira mais concisa, a regressão ponderada de mínimos quadrados usando weightsin Rfaz as seguintes suposições: suponha que sim weights = c(w_1, w_2, ..., w_n). Seja , seja uma matriz de design , seja um vetor de parâmetro e seja um vetor de erro com média e matriz de variação , onde . Então, Seguindo os mesmos passos da derivação na postagem original, temos $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{X}$$n \times p$$\boldsymbol\beta\in\mathbb{R}^p$$\boldsymbol\epsilon \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{0}$$\sigma^2\mathbf{V}$$\sigma^2 > 0$

$$\mathbf{V} = \text{diag}(1/w_1, 1/w_2, \dots, 1/w_n)\text{.}$$ $$\begin{align} \arg\min_{\boldsymbol \beta}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)^{T}\mathbf{V}^{-1}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)&= \arg\min_{\boldsymbol \beta}\sum_{i=1}^{n}(1/w_i)^{-1}(y_i-\mathbf{x}^{T}_i\boldsymbol\beta)^2 \\ &= \arg\min_{\boldsymbol \beta}\sum_{i=1}^{n}w_i(y_i-\mathbf{x}^{T}_i\boldsymbol\beta)^2 \end{align}$$ e são estimados usando do GLS suposições .$\boldsymbol\beta$ $$\hat{\boldsymbol\beta} = (\mathbf{X}^{T}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{T}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{y}$$