Regressão quantílica vs OLS para homoscedasticidade

Eu tenho uma pergunta sobre o coeficiente de inclinação do OLS comparado ao da Regressão Quantil, ao enfrentar termos de erro homoscedástico. O modelo de população pode se parecer com:

$y_i = \beta_0 + \beta_{1}x_i + u_i$

com $u_i$sendo termos de erro do iid. O coeficiente de inclinação estimado convergirá para o mesmo valor para OLS e QR para quantis diferentes? Embora a amostra calcule pode muito bem ser diferente uma da outra.$\hat{\beta}_{1}$$\beta_{1}$$\hat{\beta}_{1}$

Considerando a convergência dos estimadores de QR, sei que na presença de homoscedasticidade todos os parâmetros de inclinação para diferentes regressões quantílicas convergirão para o mesmo valor (como mostrado por Koenker 2005: 12). Mas não tenho certeza de como a convergência do coeficiente OLS será comparada à do mediano QR (o LAD) do coeficiente por exemplo. Existe uma prova de que ambos irão convergir para o mesmo valor? Minha intuição me diz que esse deveria ser o caso.$\beta_{1}$$\beta_{1}(0.5)$

A resposta provavelmente está nas funções de perda para OLS e QR. O OLS minimiza os resíduos quadrados, enquanto o QR (para a mediana) minimiza os desvios absolutos. Portanto, à medida que os erros são elevados ao quadrado, o OLS coloca mais peso nos valores discrepantes, em oposição ao QR. Mas, no caso da homoscedasticidade, os discrepantes não deveriam se cancelar porque erros positivos são tão prováveis ​​quanto negativos, tornando o OLS e a mediana da inclinação QR coeficiente equivalente (pelo menos em termos de convergência)?

Atualização
Para testar a previsão de que, para a homocedasticidade, os coeficientes de inclinação para diferentes quantis são equivalentes, executei um teste no estado. Isso é feito apenas para confirmar o resultado de Koenker (2005) mencionado anteriormente. A pergunta original é sobre a convergência do OLS em comparação com o QR. Criei n = 2000 observações com o Stata via:

set obs 2000  
set seed 98034  
generate u = rnormal(0,8)  
generate x = runiform(0,50)
generate y = 1 + x + u

Para esta amostra, realizei uma regressão QR para os quantis (0,10, 0,50, 0,90) e depois testei a hipótese conjunta de que o coeficiente de inclinação para os três quantis é idêntico, ou seja:

$H_0: \beta_1(0.1)=\beta_1(0.5)=\beta_1(0.9)$

Este é o código stata correspondente:

sqreg y x, quantile(.1, .5, .9) reps(400)
test [q10=q50=q90]: x

A evidência foi esmagadora, o H0 não pôde ser fortemente rejeitado. Saída para o teste Wald:

F(  2,  1998) =    0.79
Prob > F =    0.4524

Isso reafirmou meus pensamentos, mas não fornece nenhuma orientação teórica sobre se isso deve sempre ser esperado.

O coeficiente de inclinação estimado $\beta_1$ sempre é o mesmo para OLS e QR para diferentes quantis?

Não, claro que não, porque a função de perda empírica minimizada difere nesses casos diferentes (OLS vs. QR para diferentes quantis).

Estou bem ciente de que, na presença de homoscedasticidade, todos os parâmetros de inclinação para diferentes regressões quantílicas serão os mesmos e que os modelos QR diferirão apenas na interceptação.

Não, não em amostras finitas. Aqui está um exemplo retirado dos arquivos de ajuda do pacote "quantreg" no R:

library(quantreg)
data(stackloss)
rq(stack.loss ~ stack.x,tau=0.50) #median (l1) regression fit for the stackloss data.
rq(stack.loss ~ stack.x,tau=0.25) #the 1st quartile

No entanto, assintoticamente todos eles convergirão para o mesmo valor verdadeiro.

Mas, no caso da homoscedasticidade, os discrepantes não deveriam se cancelar porque erros positivos são tão prováveis ​​quanto negativos, tornando o OLS e a mediana da inclinação QR coeficientes equivalentes?

Não. Primeiro, a simetria perfeita dos erros não é garantida em nenhuma amostra finita. Segundo, minimizar a soma dos quadrados versus valores absolutos geralmente leva a valores diferentes, mesmo para erros simétricos.

Geralmente a resposta é sim, pelo menos para a regressão de Theil, que é um caso especial de QR. O estimador de inclinação para a regressão de Theil é um estimador imparcial da inclinação da população. Se todos os requisitos para o OLS forem atendidos, ele terá 85% de eficiência relativa. Há certas circunstâncias em que se torna mais eficiente do que o mínimo de quadrados em uma base relativa.

Além disso, se você não estiver sentado com uma quantidade infinita de dados, mas tiver uma amostra pequena, há muitos lugares onde seria preferível. A inclinação e o truncamento, ao não permitir valores negativos, podem ter um forte impacto no OLS e pouco ou nenhum no método de Theil.