Qual estimativa de variação usar para um teste de Wald?

Eu vi a seguinte justificativa para o teste de Wald da hipótese nula para um parâmetro escalar . Quando θ n é o MTE para θ estimada a partir de uma amostra independente de tamanho n , sob a hipótese nula temos √$H_0: \theta = \theta_0$$\theta$$\hat{\theta}_n$$\theta$$n$na distribuição comon→∞, ondei(θ0)é a informação esperada para uma única observação, avaliada emθ0. Parece-me que devemos usar a estatística de teste$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right) \rightarrow N\left(0, \dfrac{1}{i(\theta_0)}\right)$$n\rightarrow \infty$$i(\theta_0)$$\theta_0$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0)}}}$

que será aproximadamente para n grande . No entanto, parece ser mais comum escrever a estatística de Wald como$N(0,1)$$n$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\hat{\theta}\right)}}},$

ou seja, para avaliar as informações esperado em θ em vez de θ 0 . Minha pergunta é, considerando que precisamos da distribuição da estatística de teste sob o nulo para executar nosso teste de hipótese, não faz mais sentido tentar estimar o erro padrão sob o nulo, ou seja, para estimar s . e . ( Θ ) por √$\hat{\theta}$$\theta_0$$s.e.\left(\hat{\theta}\right)$ ?$\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\theta_0 \right)}}$

Qualquer uma das abordagens é legítima, com ambas levando à mesma distribuição nula assintótica da estatística.

implica que θ n→pθ0de modo que o teorema de mapeamento contínuo (CMT) os rendimentos quei( θ n)→pi(θ0), desde que, como no caso de problemas regulares, queiseja contínuo. Então, novamente pelo CMT, $\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0) \rightarrow_d N(0, i(\theta_0)^{-1})$$\hat{\theta}_n \to_p \theta_0$$i(\hat{\theta}_n) \to_p i(\theta_0)$$i$ e o teorema de Slutzky produz que

$$\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta}_n)}}\to_p\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0 )}}$$ sobH0bem. $$\dfrac{\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta})}}}\to_dN(0,1)$$ $H_0$