Expectativa condicional de uma derivação truncada do VD, distribuição de gumbel (diferença logística)

8

Eu tenho duas variáveis ​​aleatórias que são independentes e identicamente distribuídas, por exemplo, :ϵ1,ϵ0iidGumbel(μ,β)

F(ϵ)=exp(exp(ϵμβ)),

f(ϵ)=1βexp((ϵμβ+exp(ϵμβ))).

Estou tentando calcular duas quantidades:

  1. Eϵ1Eϵ0|ϵ1[c+ϵ1|c+ϵ1>ϵ0]
  2. Eϵ1Eϵ0|ϵ1[ϵ0|c+ϵ1<ϵ0]

Chego a um ponto em que preciso fazer a integração em algo da forma: , que parece não ter uma integral na forma fechada. Alguém pode me ajudar com isso? Talvez eu tenha feito algo errado.eex

Eu sinto que definitivamente deveria haver uma solução fechada. (EDIT: Mesmo que não seja de forma fechada, mas haveria software para avaliar rapidamente a integral [como Ei (x)]), tudo bem, suponho.)


EDITAR:

Eu acho que com uma mudança de variáveis, vamos

y=exp(ϵ1μβ)
e

μβlny=ϵ1

Isso mapeia para e respectivamente.[ 0 ,[0,)[0,exp(ϵ0cμβ)]

|J|=|dϵdy|=βy . Então, sob a mudança de variável, eu reduzi (1) para ...

011ex(μβlnxc[c+μβlny]eydy)exdx

Pode haver um erro de álgebra, mas ainda não consigo resolver essa integral ...


PERGUNTA RELACIONADA: Expectativa do Máximo de Variáveis ​​de IID Gumbel

wolfsatthedoor
fonte
1
Definitivamente, não existe uma solução de formulário fechado. Por que você sentiu que deveria haver?
Gordon Smyth
@GordonSmyth Como você sabe que não existe uma solução de formulário fechado?
Wolfsatthedoor

Respostas:

2

Como os parâmetros da distribuição Gumbel são localização e escala, respectivamente, o problema se simplifica em computar que e estão associados a , . O denominador está disponível em formato fechado E [ ϵ 1 | ϵ 1 + c > ϵ 0 ] = + - x F ( x + c ) f ( x ) d x(μ,β)fFμ=0β=1 + - F(x+c)f(x)dx

E[ϵ1|ϵ1+c>ϵ0]=+xF(x+c)f(x)dx+F(x+c)f(x)dx
fFμ=0β=1
+F(x+c)f(x)dx=+exp{exp[xc]}exp{x}exp{exp[x]}dx=a=ec+exp{(1+a)exp[x]}exp{x}dx=11+a[exp{(1+a)ex}]+=11+a
O numerador envolve uma integral exponencial, pois (de acordo com o integrador WolframAlpha ) = \ frac {\ gama + \ log (1 + a)} {1 + a} \ end {align *} Portanto, E[ϵ1| ϵ1+c>ϵ0]=γ+log(1+e-c)UX=-log{-log(U)}
+xF(x+c)f(x)dx=+xexp{(1+a)exp[x]}exp{x}dx=z=ex0+log(z)exp{(1+a)z}dz=11+a[Ei((1+a)z)log(z)e(1+a)z]0=γ+log(1+a)1+a
E[ϵ1|ϵ1+c>ϵ0]=γ+log(1+ec)
Esse resultado pode ser facilmente verificado por simulação, uma vez que produzir uma variável Gumberl varia para transformar um Variável uniforme (0,1), , como . Monte Carlo e os meios teóricos concordam:UX=log{log(U)}

adequação de Monte Carlo e médias teóricas quando $ c $ varia de -2 a 2, com eixos logarítmicos, com base em simulações de 10⁵

Xi'an
fonte
Você percebeu que o epsilon0 também é um rv?
wolfsatthedoor