Terceiro momento central da soma de um número aleatório de variáveis ​​aleatórias iid

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Inspirado por essa pergunta , tentei obter uma expressão para o terceiro momento central de uma soma de um número aleatório de variáveis ​​aleatórias iid. Minha pergunta é se está correto e, se não, o que está errado ou que suposições adicionais podem estar faltando.

Especificamente, deixe:

S=1NXi,
que é uma variável aleatória com valor inteiro não negativa.N

Suponha-se que as distribuições de ambos e são conhecidos (e são iid), que quer conhecer o valor do terceiro momento central de .NXXiS

Usando a lei da cumulidade total:

μ3(S)=E[μ3(S|N)]+μ3(E[S|N])+3cov(E[S|N],V[S|N]),

mas , e, se eu estiver certo, . Conseqüentemente:E[S|N]=NE[X]E[S|N]=NV[X]μ3(S|N)=Nμ3[X]

μ3(S)=E[Nμ3(X)]+μ3(NE[X])+3cov(NE[X],NV[X]),

e, como os momentos de devem ser conhecidos:X

μ3(S)=μ3(X)E[N]+E[X]3μ3(N)+3E[X]V[X]cov(N,N)

Claro, , então:cov(N,N)=V[N]

μ3(S)=μ3(X)E[N]+E[X]3μ3(N)+3E[X]V[X]V[N]

Está certo? O que está errado? Que suposições adicionais estou faltando?

Rafael
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Respostas:

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Seus passos parecem certos para mim. Precisamos assumir que os momentos existem. O único passo que eu não tinha certeza era . Mas podemos provar que:μ3(S|X)=Nμ3[X]

μ3(S|X)=E[(SE[S])3|N]=E[(i=1N(XiE[X]))3|N]=E[i=1N(XiE[X])3|N]
onde estabelecer a última igualdade, podemos usar o teorema multinomial. Para um dado ,n

E[(i=1n(XiE[X]))3]=E[i=1nki=3(3k1,,kn)(X1E[X])k1(XnE[X])kn]=E[i=1n(XiE[X])3],
porque quando para qualquer , existe outro onde (devido à independência de e e ao fato de que a expectativa de é zero, fazendo com que esse termo específico se torne zero). Agora deve ficar claro que .ki=2ijkj=1XiXjXjE[X]μ3(S|X)=Nμ3[X]
irregular
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