Probabilidade de um processo independente de Poisson ultrapassar outro

Já fiz essa pergunta de outra maneira em outras trocas de pilha, desculpe-me pela repostagem.

Eu perguntei ao meu professor e a alguns estudantes de doutorado sobre, sem uma resposta definitiva. Primeiro vou declarar o problema, depois minha solução em potencial e o problema com a minha solução, desculpe a parede de texto.

O problema:

Suponha dois Poisson independente processa $M$ e $R$ , com $\lambda_R$ e $\lambda_M$ para o mesmo intervalo de tempo, sujeito a $\lambda_R>\lambda_M$ . Qual é a probabilidade de que, em qualquer ponto do tempo, à medida que o tempo tende ao infinito, a saída agregada do processo $M$ seja maior que a saída agregada do processo $R$ mais $D$ , ou seja, $P(M>R+D)$ . Para ilustrar com um exemplo, assuma duas pontes $R$ e $M$ , em média $\lambda_R$ e$\lambda_M$ carros passar por cima da ponte$R$ e$M$ , respectivamente, por cada intervalo, e$\lambda_R>\lambda_M$ . $D$ carros já têm impulsionado sobre a ponte$R$ , qual é a probabilidade de que a qualquer ponto no tempo mais carros no total têm impulsionado sobre a ponte$M$ de$R$ .

Minha maneira de resolver esse problema:

Primeiro, definimos dois processos de Poisson:

$$M(I) \sim \operatorname{Poisson}(\mu_M\cdot I ) \\ R(I) \sim \operatorname{Poisson}(\mu_R\cdot I ) \\$$

O próximo passo é o de encontrar uma função que descreve após um determinado número de intervalos I . Isso acontecerá no caso de M ( I ) > k + D condicional à saída de R ( I ) = k , para todos os valores não negativos de k . Para ilustrar, se a saída do agregado de R é X , então a saída total de M tem de ser maior que X + D . Como mostrado abaixo.$P(M>R+D)$$I$$M(I)>k+D$$R(I)=k$$k$$R$$X$$M$$X+D$

$$P(M(I))>R(I)+D)=\sum_{k=0}^n \bigg [P(M(I) >k+D\cup R(I)=k) \bigg]$$

$$n\rightarrow \infty$$

Devido à independência, isso pode ser reescrito como o produto dos dois elementos, onde o primeiro elemento é 1-CDF da distribuição Poisson e o segundo elemento é o Poisson pmf:

$$P(M(I)>R(I)+D)=\sum_{k=0}^n \bigg [\underbrace{P(M(I)> k+D)}_{1-\text{Poisson CDF}}\cdot \underbrace{P(R(I)=k)}_\text{Poisson pmf} \bigg]$$

$$n\rightarrow \infty$$

Para criar um exemplo, assuma , λ R = 0,6 e λ M = 0,4 , abaixo está o gráfico dessa função sobre I :$D=6$$\lambda_R=0.6$$\lambda_M=0.4$$I$

O próximo passo é encontrar a probabilidade de que isso aconteça em qualquer ponto no tempo, permite chamada que . Meu pensamento é que este é equivalente a encontrar um menos a probabilidade de M nunca estar acima de R + D . Isto é deixar N abordagem infinito que é P ( R ( N ) + D ≥ H ( N ) ) condicionada por este também ser verdadeiro para todos os valores anteriores de N .$Q$$M$$R+D$$N$$P(R(N)+D \geq M(N))$$N$

é o mesmo que 1 - P ( M ( I ) > R ( I ) + D ) , vamos definir isso como função g (I):$P(R(I)+D \geq M(I))$$1-P(M(I)>R(I)+D)$

$$g(I)=1-P(M(I)>R(I)+D)$$

Como tende ao infinito, isso também pode ser reescrito como a integral geométrica sobre a função g ( I ) .$N$$g(I)$

$$Q=1-\exp \bigg (\int_0^N \ln(g(I)) \: dI \bigg )$$

$$Q=1- \exp \bigg ( \int_0^N \ln(1-P(M(I)>R(I)+D)) \: dI \bigg )$$

$$N\rightarrow \infty$$

Onde temos a função de de cima.$P(M(I)>R(I)+D)$

$$Q=1-\exp \bigg (\int_0^N \ln \bigg (1-\sum_{k=0}^n \bigg [\underbrace{P(M(I)> k+D)}_{1-\text{Poisson CDF}}\cdot \underbrace{P(R(I)=k)}_\text{Poisson pmf} \bigg] \bigg ) \, dI \bigg )$$

$$N\rightarrow \infty$$

$$n\rightarrow \infty$$

Agora, para mim isso deve me dar o valor final da , para um dado D , λ R e λ M . No entanto, há um problema, devemos ser capazes de reescrever as lambdas como queremos, pois a única coisa que importa é a proporção entre si. Para desenvolver o exemplo anterior com D = 6 , λ R = 0,6 e λ M = 0,4 , é efetivamente o mesmo que D = 6 , λ R = 0,06 e λ M = $Q$$D$$\lambda_R$$\lambda_M$$D=6$$\lambda_R=0.6$$\lambda_M=0.4$$D=6$$\lambda_R=0.06$$\lambda_M=0.04$, contanto que o intervalo seja dividido por 10. Ou seja, 10 carros a cada 10 minutos é o mesmo que 1 carro a cada minuto. No entanto, fazer isso produz um resultado diferente. , λ R = 0,6 e λ H = 0,4 rendimentos um Q de 0,5856116 e D = 6 , λ R = 0,06 e λ M = 0,04 rendimentos um Q de 0,9998507 . A realização imediata é que 1 - ( 1 $D=6$$\lambda_R=0.6$$\lambda_M=0.4$$Q$$0.5856116$$D=6$$\lambda_R=0.06$$\lambda_M=0.04$$Q$$0.9998507$ , e o motivo é realmente bastante simples se compararmos os gráficos dos dois resultados, o gráfico abaixo mostra a função para D = 6 , λ R = 0,06 e λ M = 0,04 .$1-(1-0.5856116)^{10}=0.9998507$$D=6$$\lambda_R=0.06$$\lambda_M=0.04$

$Q$$0.04$$0.06$$0.4$$0.6$$1$$1.5$$0.4$$0.6$$0.04$$0.06$

$Q$$t$$t$$\lambda_M=0.4$$\lambda_R=\lambda_M\cdot 1.5$

É aqui que estou preso, para mim a abordagem parece correta e correta, mas o resultado está obviamente errado. Meu pensamento inicial é que estou perdendo uma redimensionamento fundamental em algum lugar, mas não consigo descobrir onde.

Obrigado pela leitura, toda e qualquer ajuda é muito apreciada.

Além disso, se alguém quiser meu código R, informe-me e eu o carregarei.

$T = (0=t_0 \lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots).$$i\gt 0,$

$$B(i) = \left\{\matrix{+1 & \text{if } R(t_i)=1 \\ -1 & \text{if }M(t_i)=1}\right.$$

$B(i)$$W:$$W(0)=0$$W(i+1)=W(i)+B(i)$$i \gt 0.$ $W(i)$$R$$M$$t_i.$

$R$$M$$(t_i, W(i))$$R(t_i)-M(t_i)$

$b=0, 1, 2, \ldots,$$\mathcal{E}_b$$W_i$$-b$$f(b)$

$f(D+1).$

$\lambda=\lambda_R+\lambda_M.$$W$

$$\Pr(B(i) = 1) = \frac{\lambda_R}{\lambda}\text{ and } \Pr(B(i)=-1) = \frac{\lambda_M}{\lambda}.$$

Portanto,

A resposta é igual à chance de que esse passeio aleatório binomial encontre uma barreira absorvente em$W$$-D-1.$

A maneira mais elementar de encontrar essa chance é observar que

$$f(0)=1$$

porquee, para todo os dois próximos passos possíveis de produzem recursivamente$W(0)=0;$$b \gt 0,$$\pm 1$

$$f(b) = \frac{\lambda_R}{\lambda} f(b+1) + \frac{\lambda_M}{\lambda} f(b-1).$$

Supondo a solução exclusiva para é$\lambda_R \ge \lambda_M,$$b\ge 0$

$$f(b) = \left(\frac{\lambda_M}{\lambda_R}\right)^b,$$

como você pode verificar, inserindo isso nas equações definidoras anteriores. Portanto,

A resposta é

$$\Pr(\mathcal{E}_{D+1})=f(D+1)=\left(\frac{\lambda_M}{\lambda_R}\right)^{D+1}.$$