Se eu provar o estimador de

Deixei $X_i$ ser uma variável aleatória iid com pdf $f(\mathbf{x}|\theta)$ , Onde $E(X_i) = 6\theta^2$ e $\theta > 0$ .

Eu calculei um estimador para o parâmetro ( $\theta$ ) do $f(\mathbf{x}|\theta)$ ser estar $\hat{\theta} = \sqrt{\bar{x}/6}$ . Para provar que este é um estimador imparcial, devo provar que $E(\hat{\theta}) = E\left(\sqrt{\bar{x}/6}\right)$ . No entanto, desde $\hat{\theta}^2 = \bar{x}/6$ , seria muito mais fácil mostrar que

\begin{aligned} E ({\hat{θ}}^{2}) & = E (\bar{x} / 6) \\ = \frac{1}{6} E (\frac{\sum X_{i}}{n}) \\ = \frac{1}{6 n} \sum E (X_{i}) \\ = \frac{1}{6 n} n 6 θ^{2} \\ = θ^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} E(\hat{\theta}^2) &= E(\bar{x}/6) \\ &=\frac{1}{6}E\left(\frac{\sum X_i}{n}\right)\\ &=\frac{1}{6n}\sum E(X_i) \\ &=\frac{1}{6n}n6\theta^2 \\&= \theta^2.\end{align}$

Geralmente, provando $x^2 =4$ não é o mesmo que provar $x=2$ , Desde a $x$ também poderia ser $-2$ . No entanto, neste caso $\theta>0$ .

Eu mostrei isso $\hat{\theta}^2$ é imparcial, isso é suficiente para mostrar que $\hat{\theta}$ é imparcial?

self-study mathematical-statistics inference unbiased-estimator kingledion
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Seu título não parece fazer sentido; parece estar falando sobre estimar uma variável aleatória - o que você estima é um parâmetro; Sua última frase diz: "Eu tenho mostrado que é de R $ imparcial, mas os parâmetros não são distorcidos ou imparcial, ... estimadores de parâmetros são Por favor edição para sua pergunta é clara..

θ^{2}

$θ^2$

Glen_b -Reinstate Monica

Consulte a central de ajuda sobre perguntas no estilo de lição de casa (tipo rotina de livros didáticos) (a discussão se aplica se é realmente uma lição de casa ou não); em seguida, adicione a self-studytag conforme sugerido lá e modifique sua pergunta para seguir as diretrizes para fazer essas perguntas. Em particular, você precisará identificar claramente o que fez para resolver o problema e indicar a ajuda específica necessária no momento em que tiver dificuldade.

Glen_b -Reinstala Monica

possível duplicado: stats.stackexchange.com/questions/271319/…

Taylor

@ Taylor, eles certamente estão relacionados, mas a pergunta aqui não tem a mesma resposta que a pergunta lá.

Glen_b -Reinstala Monica

@Glen_b está certo, a terminologia está errada aqui. Mas, suspeito que você possa estar se perguntando se um estimador é imparcial para então a raiz quadrada desse estimador é imparcial para . Não não é.

θ^{2}

$\theta^2$

θ

$\theta$

gammer

Respostas:

Diga é imparcial para , ou seja, , então, devido à desigualdade de Jensen, $Q$ $\theta^2$ $E(Q) = \theta^2$

\sqrt{E (Q)} = θ < E (\sqrt{Q})

$\sqrt{ E(Q) } = \theta < E \left( \sqrt{Q} \right)$

Portanto, é enviesado, ou seja, superestima em média. $\sqrt{Q}$ $\theta$

Nota : Esta é uma desigualdade estrita (isto é, not ) porque não é uma variável aleatória degenerada e a raiz quadrada não é uma transformação afim. $<$ $\leq$ $Q$

gammer
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Observe que, para qualquer estimador (com segundo momento finito), com igualdade somente quando (o que é fácil de verificar não é válido). $E(\widehat{\theta^2}) - E(\hat\theta)^2$ $=$ $\text{Var}(\hat\theta)\geq 0$ $\text{Var}(\hat\theta)=0$

Substitua o primeiro termo no LHS dessa desigualdade usando seu resultado para imparcialidade de e, em seguida, usando o fato de que e são positivos, mostre é tendencioso, não imparcial como você supunha. (Em geral, você pode aplicar a desigualdade de Jensen, mas não é necessária aqui) $\widehat{\theta^2}$ $\theta$ $\hat \theta$ $\hat \theta$

Observe que essa prova não se relaciona aos detalhes do seu problema - para um estimador não negativo de um parâmetro não negativo, se o quadrado não for favorável ao quadrado do parâmetro, o estimador deve ser tendencioso, a menos que a variação do estimador é . $0$

Glen_b -Reinstate Monica
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+1 apenas ligando para o artigo da Wikipedia sobre Desigualdade de Jensen , desde que eu achei super útil quando eu estava trabalhando através de perguntas semelhantes há alguns anos

Rose Hartman

Isso é realmente claro e legal!

Zen