Qual é a diferença entre PCA e PCA assintótico?

Em dois trabalhos em 1986 e 1988 , Connor e Korajczyk propuseram uma abordagem para modelar o retorno de ativos. Como essas séries temporais geralmente têm mais ativos do que as observações do período, eles propuseram realizar um PCA nas covariâncias transversais dos retornos dos ativos. Eles chamam esse método de Análise de Componentes Principais Assintóticos (APCA, que é bastante confusa, pois o público pensa imediatamente nas propriedades assintóticas do PCA).

Eu elaborei as equações e as duas abordagens parecem numericamente equivalentes. É claro que os assintóticos diferem, pois a convergência é comprovada para vez de . Minha pergunta é: alguém já usou o APCA e comparado ao PCA? Existem diferenças concretas? Se sim, quais são?T → $N \rightarrow \infty$$T \rightarrow \infty$

Não há absolutamente nenhuma diferença.

Não há absolutamente nenhuma diferença entre o PCA padrão e o que a C&K sugeriu e chamou de "PCA assintótico". É bastante ridículo dar um nome separado.

Aqui está uma breve explicação do PCA. Se dados centralizados com amostras em linhas forem armazenados em uma matriz de dados , o PCA procurará por autovetores da matriz de covariância $\mathbf X$, e projeta os dados nesses vetores próprios para obter componentes principais. Equivalentemente, pode-se considerar uma matriz Gram,$\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$

Parece-me que o que C&K sugeriu é calcular autovetores da matriz Gram para calcular componentes principais. Bem, uau. Isso não é "equivalente" ao PCA; ele é PCA.

Para aumentar a confusão, o nome "PCA assintótico" parece se referir à sua relação com a análise fatorial (FA), não com o PCA! Os documentos originais da C&K estão sob paywall, então aqui está uma citação de Tsay, Analysis of Financial Time Series, disponível no Google Livros:

$k$$\to \infty$

$k \to \infty$

• Existe algum bom motivo para usar o PCA em vez do EFA? Além disso, o PCA pode substituir a análise fatorial?
• Sob quais condições o PCA e o FA produzem resultados semelhantes?

Portanto, o ponto principal é: a C&K decidiu cunhar o termo "PCA assintótico" para o PCA padrão (que também poderia ser chamado de "FA assintótica"). Eu recomendaria nunca usar esse termo.

Normalmente, o APCA é usado quando há muitas séries, mas poucas amostras. Eu não descreveria a APCA como melhor ou pior que a PCA, devido à equivalência que você anotou. No entanto, diferem quando as ferramentas são aplicáveis. Essa é a visão do artigo: você pode mudar a dimensão, se for mais conveniente! Portanto, no aplicativo que você mencionou, há muitos ativos; portanto, você precisará de uma longa série temporal para calcular uma matriz de covariância, mas agora você pode usar o APCA. Dito isto, não acho que a APCA seja aplicada com muita frequência porque você pode tentar reduzir a dimensionalidade usando outras técnicas (como análise fatorial).