Diferença entre Priores não informativos e impróprios

Gostaria de saber qual é a diferença entre esses dois tipos de anteriores:

• Não informativo
• Impróprio

Antecedentes impróprios são -finite medidas não-negativos de d π no espaço de parâmetros Θ tal que ∫ Θ d π ( θ ) = + ∞ Como tal eles generalizar a noção de uma distribuição antes, que é uma distribuição de probabilidade no espaço de parâmetros Θ de tal modo que ∫ q d π ( θ ) = 1 Eles são úteis de várias maneiras de caracterizar$\sigma$$\text{d}\pi$$\Theta$

$$\int_\Theta \text{d}\pi(\theta) = +\infty$$ $\Theta$ $$\int_\Theta \text{d}\pi(\theta) =1$$

1. o conjunto de limites de procedimentos bayesianos adequados, que não são todos os procedimentos bayesianos adequados;
2. procedimentos ótimos freqüentistas como em (admissibilidade) completam teoremas de classe como os de Wald;
3. melhores avaliadores invariantes freqüentes (uma vez que podem ser expressos como estimativas de Bayes sob a correspondente medida de Haar correta, geralmente imprópria);
4. Priores derivados da forma da função de probabilidade, como Priores não informativos (por exemplo, Jeffreys).

Como eles não se integram a um número finito, eles não permitem uma interpretação probabilística, mas, no entanto, podem ser usados ​​em inferência estatística se a probabilidade marginal for finita desde que o distribuição posterior ℓ ( θ | x ) d π ( θ

$$\int_\Theta \ell(\theta|x)\text{d}\pi(\theta) < +\infty$$ é então bem definido. Isso significa que pode ser usado exatamente da mesma maneira que uma distribuição posterior derivada de um anterior adequado é usada, para derivar quantidades posteriores para estimativa como médias posteriores ou intervalos posteriores credíveis. $$\dfrac{\ell(\theta|x)\text{d}\pi(\theta)}{\int_\Theta \ell(\theta|x)\text{d}\pi(\theta)}$$

Aviso: Um ramo da inferência bayesiana não lida muito bem com anteriores impróprios, ou seja, ao testar hipóteses nítidas. De fato, essas hipóteses requerem a construção de duas distribuições anteriores, uma sob a nula e outra sob a alternativa, ortogonais. Se um desses antecedentes for impróprio, ele não poderá ser normalizado e o fator Bayes resultante será indeterminado.

$\delta$$L(d,\theta)$$\text{d}\pi$

$$\arg \min_d \int_\Theta L(d,\theta)\ell(\theta|x)\text{d}\pi(\theta)$$ $L(d,\theta)\text{d}\pi(\theta)$$\varpi(\theta)$$\varpi(\theta)$ $$L(d,\theta)\text{d}\pi(\theta)=\dfrac{L(d,\theta)}{\varpi(\theta)}\times\varpi(\theta)\text{d}\pi(\theta)$$

Priores não informativos são classes de distribuições anteriores (apropriadas ou impróprias) que são determinadas em termos de um determinado critério informacional relacionado à função de probabilidade, como

1. A razão insuficiente de Laplace é plana antes;
2. Jeffreys (1939) anteriores invariantes;
3. entropia máxima (ou MaxEnt) anteriores (Jaynes, 1957);
4. descrição mínima do comprimento da descrição (Rissanen, 1987; Grünwald, 2005);
5. priores de referência (Bernardo, 1979, 1781; Berger & Bernardo, 1992; Bernardo & Sun, 2012)
6. anteriores de correspondência de probabilidades (Welsh & Peers, 1963; Scricciolo, 1999; Datta, 2005)

e outras classes, algumas das quais são descritas em Kass & Wasserman (1995). O nome não informativo é um nome impróprio, pois nenhum anterior é completamente não informativo. Veja minha discussão neste fórum. Ou a diatribe de Larry Wasserman . (Priores não informativos costumam ser impróprios.)

$95\%$$95\%$

Um prior não informativo geralmente é "impróprio". Uma distribuição tem uma propriedade conhecida: sua integral é igual a uma. Um prior não informativo é considerado impróprio quando sua integral é infinita (portanto, nesse caso, fica claro que não é uma distribuição).