Como gerar uma sequência de

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Eu sei como gerar uma seqüência $\pm 1$ com média $0$ . Por exemplo, no Matlab, se eu quiser gerar uma sequência $\pm 1$ de comprimento $10000$ , é:

2*(rand(1, 10000, 1)<=.5)-1

No entanto, como gerar uma sequência $\pm 1$ com média de $0.05$ , ou seja, com $1$ sendo ligeiramente preferido?

distributions sampling random-generation Ka-Wa Yip
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Sua média desejada é dada pela equação:

$\frac{N\cdot p - N \cdot (1-p)}{N} = .05$

da qual resulta que a probabilidade da 1sdeve ser.525

Em Python:

x = np.random.choice([-1,1], size=int(1e6), replace = True, p = [.475, .525])

Prova:

x.mean()
0.050742000000000002

1'000 experimentos com 1'000'000 amostras de 1s e -1s:

Por uma questão de perfeição (dica para @Elvis):

import scipy.stats as st
x = 2*st.binom(1, .525).rvs(1000000) - 1
x.mean()
0.053859999999999998

1'000 experimentos com 1'000'000 amostras de 1s e -1s:

E, finalmente, utilizando uma distribuição uniforme, como sugerido por @ Łukasz Deryło (também, em Python):

u = st.uniform(0,1).rvs(1000000)
x = 2*(u<.525) -1
x.mean()
0.049585999999999998

1'000 experimentos com 1'000'000 amostras de 1s e -1s:

Todos os três parecem praticamente idênticos!

EDITAR

Duas linhas no teorema do limite central e a propagação das distribuições resultantes.

Antes de tudo, os empates de meios seguem a Distribuição Normal.

Segundo, @Elvis em seu comentário a esta resposta fez alguns cálculos agradáveis sobre a distribuição exata das médias traçadas em mil e mil experiências (cerca de (0,048; 0,052)), intervalo de confiança de 95%.

E estes são resultados das simulações, para confirmar seus resultados:

mn = []
for _ in range(1000):
    mn.append((2*st.binom(1, .525).rvs(1000000) - 1).mean())
np.percentile(mn, [2.5,97.5])
array([ 0.0480773,  0.0518703])

Sergey Bushmanov
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Bom trabalho. Meu argumento com os Bernoulli era reduzir a questão a uma distribuição de probabilidade bem conhecida; do ponto de vista da 'implementação', sua resposta e Łukasz 'foram perfeitos.

Elvis

Sem brincadeira, o seu é o mais científico e o melhor! ;) Eu estava pensando na distribuição binomial por meio segundo, mas isso não foi suficiente para transformá-la em -1 e 1, então peguei emprestada sua solução "como está", obrigado!

Sergey Bushmanov

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$\def\var{\text{var}}$ Assim, com minhas notações, , e o desvio padrão de é . Quando você calcula a média em amostras, o desvio padrão é e 95% das médias calculadas devem estar no intervalo , que é . Confira a matemática! ;)

var (Y) = 4 var (X) = 4 p (1 - p) = 0.9975

$\var(Y)= 4\var(X) = 4p(1-p) = 0.9975$

Y

$Y$

≃ 0.999

$\simeq 0.999$

10^{6}

$10^6$

0.999 \times 10^{- 3}

$0.999 \times 10^{-3}$

0.05 \pm 1.96 \times 0.999 \times 10^{- 3}

$0.05 \pm 1.96 \times 0.999 \times 10^{-3}$

(0.048; 0.052)

$(0.048; 0.052)$

Elvis

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Uma variável com valores e tem a forma com a Bernoulli com o parâmetro . Seu valor esperado é $-1$ $1$ $Y = 2X - 1$ $X$ $p$ $E(Y) = 2 E(X) - 1 = 2p - 1$ $p$ $p = 0.525$

Em R você pode gerar variáveis de Bernoulli com rbinom(n, size = 1, prob = p), portanto, por exemplo

x <- rbinom(100, 1, 0.525)
y <- 2*x-1

Elvis
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$N$ $[0,1]$

Então o seu valor esperado é

$1 \cdot 0.525 + (-1)\cdot (1-0.525) = 0.525 - 0.475 = 0.05$

Não sou usuário do Matlab, mas acho que deve ser

2*(rand(1, 10000, 1)<=.525)-1

Łukasz Deryło
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Essa é uma maneira correta de empregar amostragem de transformação inversa aqui.

Tim

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Você precisa gerar mais 1s que -1s. Precisamente, 5% mais 1s porque você deseja que sua média seja 0,05. Portanto, você aumenta a probabilidade de 1s em 2,5% e diminui -1s em 2,5%. No seu código, é equivalente a mudar 0.5para 0.525, ou seja, de 50% para 52,5%

Aksakal
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Caso deseje um valor EXATO 0,05, você pode fazer o equivalente ao seguinte código R no MATLAB:

sample(c(rep(-1, 95*50), rep(1, 105*50)))

ddunn801
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-1 esta resposta está errada! A única coisa que esse código faz é permitir aleatoriamente o vetor estático de valores. A saída não é aleatória!

Tim

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@ Tim Por que não funciona? Ele retorna uma lista de -1 e 1 em uma ordem aleatória com contagens projetadas para garantir uma média exata de 0,05.

ddunn801

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@ Tim Esta solução é aleatória. Você já tentou executá-lo repetidamente?

whuber

@whuber é a mesma solução sugerida por Amos Coats, a única diferença é permutar os valores. As propriedades estatísticas dessa amostra serão determinísticas e constantes.

Tim

3

@ Tim Acho que você pode estar lendo algumas suposições injustificadas nesta questão que não são explicitamente feitas. Embora as frequências - e, portanto, todos os momentos - da própria amostra não ordenada sejam constantes, uma grande variedade de "propriedades estatísticas" da série gerada variará aleatoriamente. Como o exemplo na pergunta gera uma matriz, e as matrizes não são conjuntos - a ordem importa em uma matriz - acho que essa interpretação é justa (e ilumina a pergunta). A "solução" postada pela Coats, por outro lado, é uma boa piada - mas a SE não gosta de brincar.

whuber

Como gerar uma sequência de

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