Por que ln [E (x)]> E [ln (x)]?

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Estamos lidando com a distribuição lognormal em um curso de finanças e meu livro apenas afirma que isso é verdade, o que acho frustrante, pois meus conhecimentos em matemática não são muito fortes, mas quero a intuição. Alguém pode me mostrar por que esse é o caso?

Chisq
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Já respondeu aqui: math.stackexchange.com/questions/21063/…
Laksan Nathan
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ln é uma função côncava. Olhe para cima Jensen desigualdade: en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality
b Kjetil Halvorsen
Inathan: Oh, desculpe, eu não achei isso quando estava olhando.
Chisq

Respostas:

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Lembre-se de que ex1+x

E[eY]=eE(Y)E[eYE(Y)]eE(Y)E[1+YE(Y)]=eE(Y)

eE(Y)E[eY]

Y=lnX

eE(lnX)E[elnX]=E(X)

agora pegue logs de ambos os lados

E[ln(X)]ln[E(X)]


Alternativamente:

lnX=lnXlnμ+lnμ (onde )μ=E(X)

=ln(X/μ)+lnμ

=ln[Xμμ+1]+lnμ

Xμμ+lnμln(t+1)t

Agora assuma as expectativas de ambos os lados:

E[ln(X)]lnμ


Uma ilustração (mostrando a conexão com a desigualdade de Jensen):

( Aqui, os papéis de X e Y são intercambiados para que correspondam aos eixos da plotagem; um melhor planejamento trocaria seus papéis acima para que a plotagem correspondesse mais diretamente à álgebra. )

gráfico de dispersão de y = exp (x) vs x para uma amostra, mostrando a desigualdade decorrente da curvatura nessa relação

As linhas coloridas sólidas representam médias em cada eixo.

XYY

Glen_b -Reinstate Monica
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